Provate a vedere se vi convince
La soluzione mi sembra corretta. Giusto un paio di osservazioni:
- Potevi ottenere la disuguaglianza |Grad(f)(x+xi(y-x))*(x-y)|<=||Grad(f)(x+xi(y-x))||*||x-y|| senza passare dal coseno (dovresti infatti specificare come individui l'angolo tra due vettori di R^n! - anche se si può fare), semplicemente rifacendoti alla disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, valida per ogni prodotto scalare.
- La xi che compare nell'argomento del gradiente è un numero reale positivo compreso tra 0 e 1. Infatti stai calcolando il valore della funzione reale di variabile reale F(t):=f(x+t(y-x)) nel punto t=1 usando uno sviluppo di Taylor al primo ordine, con resto di Lagrange, centrato in t=0. Il punto xi è quindi compreso tra 0 e 1.
L'angolo tra due vettori x,y di R^n si può definire come <x,y>/||x||*||y|| o va fatto in modo diverso?
Quella definizione va benissimo e si può ottenere in modo geometrico considerando il piano individuato dai due vettori in R^n su cui andare a misurare l'angolo in modo "tradizionale".
Tuttavia quella definizione si basa di fatto sulla disuguaglianza di Schwartz, in quanto implicitamente stai affermando che (x,y)/||x||*||y|| è un numero tra -1 e 1, cioè che |(x,y)|<=||x||*||y||. Tanto vale usare direttamente Schwartz :)
ok, grazie :)