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  • General

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  • Informazioni Generali

    • Contenuti:

      1) Funzioni di variabile complessa:

      * funzioni analitiche

      * teorema di Cauchy

      * applicazione al calcolo di integrali

      2) Trasformata di Fourier:

      * trasformata di Fourier in L^1

      * trasformata di Fourier in L^2

      * trasformata di distribuzioni temperate

      3) Spazi di Hilbert

      * sistemi ortonormali completi

      * operatori 

      * cenni sullo spettro

      Testi di riferimento: G. Cicogna "Metodi matematici della Fisica", 2015 Springer (qui in versione ebook) ; G.  Cicogna "Exercises and Problems in Mathematical Methods of Physics", 2018 Springer .

      Altri testi utili: M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni "Guide To Mathematical Methods For Physicists, A: With Problems And Solutions", 2017 World Scientific; F. Bagarello "Fisica Matematica", 2007 Zanichelli; E.B. Saff, A.D. Snider "Fundamentals of Complex Analysis", 2003 Prentice Hall (qui in versione ebook); M.L. Boas, "Mathematical Methods in Physical Sciences", 2006 Wiley.

      Link per iscriversi al Team del corso su MS Teams (da cui sono accessibili le registrazioni): qui

  • Modalità d'esame

    • Esame scritto della durata di 3 ore, con 3 esercizi, uno su funzioni di variabile complessa, uno su trasformata di Fourier, uno su spazi di Hilbert. Ciascun esercizio è diviso in 2 o 3 punti da svolgere, che hanno un punteggio assegnato. Il punteggio totale è 33. Si supera lo scritto con 18. Si ottiene la lode con 33. Vi comunico i risultati tramite email. Più in basso trovate gli scritti degli anni passati, nel primo anno ce ne sono alcuni da 5 ore ma ora lo scritto è di 3 ore.

      Se si supera lo scritto (punteggio maggiore o uguale a 18) si può scegliere di fare l'orale. In questo caso risponderete all'email in cui vi comunico l'esito dello scritto e ci accorderemo su data e ora. L'esame orale dura un'ora e consiste nello svolgimento di due esercizi, più brevi di quelli dello scritto. All'orale vi mostro l'esercizio, vi dò tempo per pensarci anche scrivendovi appunti su un foglio se volete, e quando vi sentite pronti vi chiedo di dirmi la vostra soluzione dell'esercizio. Finito l'esame, assegno un voto all'orale, e il punteggio finale è la media aritmetica tra il voto dello scritto e quello dell'orale.

      Sia allo scritto che all'orale si possono consultare appunti.

  • Esami passati e soluzioni

  • Note del corso

    • Trovate le note del corso a questo link.

      Nota bene: sono aggiornate solo fino all'ultima lezione svolta, quelle delle lezioni future potrebbero subire modifiche. È fortemente consigliato di studiare gli argomenti anche su un libro di testo.

  • Esercitazioni

    • Il dott. Nicolas Baù svolgerà esercitazioni facoltative, risolvendo esercizi d'esame, nei seguenti giorni e orari:

      • Mercoledì 20/11, dalle 14 alle 16, Aula V, (ed. G)
      • Mercoledì 27/11, dalle 14 alle 16, Aula A (ed. F)
      • Mercoledì 4/12, dalle 14 alle 16, Aula A (ed. F)
      • Mercoledì 11/12, dalle 14 alle 16, Aula A (ed. F)

      Ci saranno altre due esercitazioni in data da definire.

       

  • Lezione 1

    • * Presentazione del corso;

      * Ripasso su serie di potenze: raggio di convergenza, esempi;

      * Proprietà delle serie di potenze: unicità, esistenza di serie centrata in un altro punto interno all'intervallo di convergenza;

      * Funzioni analitiche di variabile reale;

      Referenze: M.L. Boas, Capitolo 1, Sezioni 10-11

  • Lezione 2

    • * Esempi importanti di funzioni analitiche reali: esponenziale, funzioni trigonometriche, logaritmo, potenza di 1+x;

      * Esempi di calcolo di serie di potenze: funzione composta, notazione O grande;

      * Ripasso su Numeri Complessi: definizione, operazioni di somma e prodotto, elementi neutri e inversi, campo complesso;

      * Altre operazioni sui numeri complessi: complesso coniugato, parte reale e parte immaginaria, modulo;

      * Uso del modulo per definire distanza, convergenza e continuità;

      * Coordinate polari: modulo e argomento, formula di Eulero;

      * Interpretazione geometrica di somma (traslazione) e prodotto (dilatazione e rotazione);

      * Potenze e radici n-esime usando le coordinate polari;

      * Radice n-esima come funzione a più valori, definizione univoca tramite restrizione del codominio a uno spicchio, discontinuità;

      Referenze: M.L. Boas, Capitolo 1, sezioni 12-13; Capitolo 2.

  • Lezione 3

    • * Serie di potenze su C: convergenza assoluta, raggio di convergenza;

      * Esempi importanti: esponenziale complesso, funzioni trigonometriche di variabile complessa, generalizzazione della formula di Eulero: seno e coseno in termini dell'esponenziale complesso, funzioni iperboliche di variabile complessa e relazione con le funzioni trigonometriche;

      * Proprietà dell'esponenziale complesso: manda somma in prodotto, calcolo del modulo, periodicità nella direzione immaginaria;

      * Logaritmo come funzione a più valori, definizione univoca tramite restrizione del codominio a una striscia, discontinuità, serie di potenze del logaritmo;

      * Esercizi;

      Referenze: M.L. Boas, Capitolo 2.

    • Esercizi Settimana 1 File PDF

  • Lezione 4

    • * Funzioni di variabile complessa;

      * Limite;

      * Punto all'infinito su C;

      * Continuità, estensione per continuità, esempi;

      * Derivata: concetti di derivata per funzioni da R^2 a R^2, derivata parziale e differenziale;

      * Derivata: derivata in senso complesso, confronto con differenziale, proprietà, esempi; 

      * Definizione di funzione analitica;

      * Condizioni di Cauchy-Riemann: prima parte;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.1;

                         M. Petrini et al, Capitolo 1, sezioni 1.1, 1.2, 1.4, 1.5;

  • Lezione 5

    • * Condizioni di CR: seconda parte;

      * Esempi su condizioni di CR;

      * Serie di potenze e serie bilatere come esempi di funzioni analitiche nel disco/corona di convergenza;

      * La parte reale e immaginaria di una funzione analitica sono funzioni armoniche, concetto di armonica coniugata, corrispondenza tra funzioni armoniche e funzioni analitiche;

      * Integrale: definizione di cammino, nozione di integrale su cammino per funzione da R^2 a R^2;

      * Proprietà dell'integrale su cammino per funzione da R^2 a R^2: indipendenza dalla parametrizzazione, dipendenza dall'orientazione, integrale di un gradiente;

      * Integrale su cammino per funzione su C: definizione;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.2, 3.3 e 3.14; 

                         M.L. Boas, Capitolo 6, sezione 8;

                         M. Petrini et al, Capitolo 2, sezioni 2.1 e 2.2;

  • Lezione 6

    • * Relazione tra integrale su cammino su C e integrale di una funzione da R^2 a R^2;

      * Proprietà dell'integrale su cammino di una funzione di variabile complessa: indipendenza dalla parametrizzazione, dipendenza dall'orientazione, integrale di una derivata totale, maggiorazione del modulo dell'integrale con il modulo del massimo della funzione per la lunghezza del cammino;

      * Esempi;

      * Esercizi di riepilogo;

      * Integrale di z^n su un cerchio centrato nell'origine, integrale di una serie bilatera centrata nell'origine su un cerchio centrato nell'origine;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.3;

                         M. Petrini et al, Capitolo 2, sezioni 2.1 e 2.2;

    • Esercizi Settimana 2 File PDF

  • Lezione 7

    • * Teorema di Green: dimostrazione per regione inclusa tra grafici, generalizzazione a domini generici;

      * Applicazioni: differenza tra due integrali su cammini per cammini tra due estremi fissati, condizione affinché un campo vettoriale sia un gradiente, determinazione dell'armonica coniugata di una funzione armonica data, differenza tra due integrali su cammini chiusi in domini non semplicemente connessi; 

      * Teorema di Cauchy;

      Referenze: M.L. Boas, Capitolo 6, sezione 9;

  • Lezione 8

    • * Applicazioni: deformazioni del cammino con gli estremi fissati, deformazioni di cammini chiusi in regioni non semplicemente connesse, esempi;

      * Formula integrale di Cauchy;

      * Applicazione: derivabilità infinite volte;

      * Serie di Taylor;

      * Serie di Taylor-Laurent;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.4 e 3.5;

                         M. Petrini et al, Capitolo 2, sezioni 2.3 e 2.6, Capitolo 3, sezioni 3.2 e 3.3;

  • Lezione 9

    • * Esercizi: soluzione esercizio per casa, esercizio su serie di Taylor e Taylor-Laurent, esercizio su calcolo di integrale di funzione razionale di funzioni trigonometriche;

    • Esercizi Settimana 3 File PDF

  • Lezione 10

    • * Estensione analitica;

      * La funzione Gamma di Eulero;

      * Tipi di singolarità isolate: singolarità rimuovibili, caratterizzazione della singolarità rimuovibile: la funzione è limitata nell'intorno;

      * Tipi di singolarità isolate: Polo di ordine n, esempi, caratterizzazione dei poli: la funzione ha limite infinito;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.6, 3.7;

                         M. Petrini et al, Capitolo 3, sezione 3.4;

  • Lezione 11

    • * Tipi di singolarità isolate: singolarità essenziali, esempi, caratterizzazione delle singolarità isolate: la funzione non ha limite;

      * Funzioni meromorfe;

      * Residuo di una funzione in una singolarità isolata;

      * Formula per il residuo a un polo di ordine n;

      * Teorema dei residui;

      * Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali sulla retta reale, tramite aggiunta di arco all'infinito;

      * Visualizzazione di funzioni di variabile complessa tramite il software Mathematica;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.8 e 3.9;

  • Lezione 12

    • * Soluzione esercizi per casa;

      * Esercizi su residui e calcolo di integrali;

    • Esercizi Settimana 4 File PDF

  • Lezione 13

    • * Lemma di Jordan;

      * Esempio di calcolo di integrali reali con Lemma di Jordan;

      * Calcolo di integrale di sin x/x  usando lemma di Jordan e parte principale;

      * Tipo della singolarità all'infinito;

      Referenza: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.13;

                         M. Petrini et al, Capitolo 4, sezione 4.4;

  • Lezione 14

    • * Residuo all'infinito;

      * Teorema esterno dei residui;

      * Teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra;

      * Rami di una funzione a più valori, scelta del taglio: esempio del log;

      * Punti di diramazione;

      Referenze:  G. Cicogna, Capitolo 3, sezionI 3.11 e 3.12;

                          M. Petrini et al, Capitolo 2, sezione 2.8.3;

                                                     Capitolo 1, sezione 1.3.2; Capitolo 4, sezione 4.3.3;

  • Lezione 15

    • * Soluzione esercizi per casa;

      * Esercizi su tipi di singolarità isolate;

    • Esercizi Settimana 5 File PDF

  • Lezione 16

    • * Punti di diramazione e tagli;

      * Esempio della funzione radice n-esima e potenza reale generica;

      * Esempio di funzioni con soli punti di diramazione al finito: prodotto di radici quadrate;

      * Esempio di integrale con radici quadrate;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.12;

                         M. Petrini et al, Capitolo 4, sezione 4.3.3;

  • Lezione 17

    • * Altro esempio di integrale ottenibile usando un prodotto di radici quadrate;

      * Integrali sull'asse reale positivo usando la funzione logaritmo, esempio;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.12;

                         M. Petrini et al, Capitolo 4, sezione 4.3.3;

  • Lezione 18

    • * Soluzione esercizi per casa;

      * Esercizio: formula di riflessione della Gamma di Eulero tramite integrale di funzione con taglio sull'asse reale positivo;

    • Esercizi Settimana 6 File PDF

  • Lezione 19

    • * Soluzione esercizi per casa;

      * Trasformata di Fourier: introduzione e motivazione, uso di espansione in modi a frequenza fissata per risolvere equazioni lineari;

      * Serie di Fourier: caso di frequenze discrete;

      * Espansione di una funzione C^1 nella "base" di funzioni periodiche, formula per i coefficienti;

      Referenze: G. Cicogna,  Capitolo 4, sezione 4.1;

                         M. Petrini et al,  Capitolo 8, sezione 8.1.1;

    • Esercizi Settimana 7 File PDF

  • Lezione 20

    • * Teorema su serie di Fourier per funzioni C^1;

      * Esempio, dimostrazione con software Mathematica;

      * Esercizio: applicazione della serie di Fourier all'equazione del calore;

      * Dalla serie alla trasformata: limite dall'intervallo di lunghezza finita a tutta la retta reale, derivazione euristica delle formule per trasformata e antitrasformata;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezione 4.1;

                         M. Petrini et al, Capitolo 8, sezione 8.1.1; 

  • Lezione 21

    • * Cenni su integrale di Lebesgue: misura, insiemi misurabili, proprietà della misura di Lebesgue;

      * Risultati notevoli su integrale di Lebesgue: teorema della convergenza dominata, teorema di Fubini-Tonelli (solo enunciati);

      * Definizione di spazi L^1 e L^2, definizione della norma;

      * Proprietà di L^1 e L^2: completezza, le funzioni continue sono sottospazio denso;

      * Definizione di trasformata di Fourier in L^1;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezioni 4.3 e 4.4;

                        M. Petrini et al., Capitolo 8, inizio sezione 8.2 e sottosezione 8.2.1;

    • Esercizi Settimana 8 File PDF

  • Lezione 22

    • * Proprietà delle trasformata in L^1: linearità, continuità, limitatezza, prodotto di convoluzione, scambio di derivata e moltiplicazione per variabile, teorema di Riemann-Lebesgue;

      * Esempi di trasformata di Fourier, check delle proprietà;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezioni 4.3 e 4.4;

                        M. Petrini et al., Capitolo 8, inizio sezione 8.2 e sottosezione 8.2.1;

  • Lezione 23

    • * Altri esempi di trasformata di Fourier in L^1 e controllo delle proprietà;

      * Trasformata di Fourier della Gaussiana;

      * Check della formula dell'antitrasformata nei casi in cui la trasformata è ancora in L^1;

      * Soluzione esercizio per casa;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezione 4.5;

                         M. Petrini et al., Capitolo 8, inizio sezione 8.2 e sottosezione 8.2.1;

    • Check prodotto di convoluzione File PDF

  • Lezione 24

    • * Trasformata di Fourier su L^2: motivazioni;

      * Lo spazio L^2: prodotto scalare, proprietà, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, continuità;

      * Definizione di trasformata di Fourier su L^2: approssimazione di funzione L^2 con funzione in L^1 intersezione L^2, identità di Parseval in L^1 intersezione L^2, proprietà di Cauchy per la successione delle trasformate di Fourier, esistenza del limite;

      * Identità di Parseval per trasformata di Fourier su L^2:

      * Esempio;

      * Antitrasformata, dimostrazione della formula;

      Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezione 4.6, 4.7; 

       
       
    • Dimostrazione identità di Parseval File PDF

  • Lezione 25

    • * Soluzione esercizi per casa;

      * Identità di Parseval generalizzata;

    • Esercizi Settimana 9 File PDF