Schema della sezione

  • Introduzione

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  • Informazioni generali

    PROGRAMMA

    1) Meccanica Razionale (48h)

    • Ripasso equazioni differenziali
    • Meccanica Lagrangiana
    • Meccanica Hamiltoniana
    • Esercizi

    2) Introduzione alla Meccanica Quantistica (16h)

    • Crisi della meccanica classica
    • Funzione d'onda ed equazione di Schrödinger
    • Problemi unidimensionali.


    ESAME

    Scritto (in trentesimi): 

    1. Domanda di teoria di Meccanica Razionale: ripetere un conto eseguito in classe.
    2. Esercizio di Meccanica Razionale (simile a quelli svolti in classe).
    3. Una domanda/esercizio di Meccanica Quantistica su qualcosa fatto in classe.


    Orale     ( voto compreso tra -4 e +4, da aggiungere al voto dello scritto; FACOLTATIVO )

    1. Una domanda di Meccanica Razionale.


    Può sostenere l'orale solo chi ha preso un voto allo scritto ≥ 18! L'orale va sostenuto nello stesso appello dello scritto! Lo studente può scegliere di non sostenere l'esame orale e di registrare il voto dello scritto come voto finale.

    Si può sostenere solo un esame per sessione (cioè uno in giugno-luglio, uno in settembre, uno in gennaio-febbraio). [Ref: http://web.units.it/node/22080 comma 6]


    MATERIALE

    • G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, Appunti di Meccanica Razionale (testo seguito durante le lezioni)
    • H. Goldstein, Meccanica Classica (testo di riferimento)
    • V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica (per materiale extra)
    • Yung-kuo Lim, Problems and Solutions on Mechanics (Chapter II: Analytical Mechanics) (esercizi)
    • D. Tong, Classical Dynamics, (review concisa ed esaustiva; link)
    • C. Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics (per la parte di meccanica quantistica)


  • Prove d'esame a.a. 2017/2018

  • Lezione 1 - 05/03/19

    • Spazi vettoriali, basi e componenti del vettore, prodotto scalare.
    • Equazione di Newton come equazione differenziale del secondo ordine.
    • Esempi: equazioni lineari omogenee e non-omogenee, attrito, ciclo limite.


    [BGG: 2.1, 1.1.1, 1.1.2]

  • Lezione 2 - 06/03/19

    • Teorema di esistenze e unicità.
    • Sistemi autonomi. Flusso del campo vettoriale.
    • Punti di equilibrio. Stabilità.


    [BGG: 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6]


  • Lezione 3 - 07/03/19

    • Costanti del moto (o integrali primi).
    • Derivata di Lie e costanti del  moto.
    • Teorema di Ljapunov. Energia come funzione di Ljapunov.
    • Linearizzazione attorno a punti di equilibrio.


    [BGG: 1.1.7, 1.1.8, 1.3.1]


  • Lezione 4 - 12/03/19

    • Sistemi conservativi a un grado di libertà e piano delle fasi. Trattazione qualitativa.
    • Traiettorie nel piano delle fasi: trattazione qualitativa. Caso generico.
    • Traiettorie nel piano delle fasi: trattazione analitica.


    [BGG: 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3]


  • Lezione 5 - 13/03/19

    • Biforcazione a forchetta.
    • Punto materiale in coordinate generiche. Punto materiale vincolato.

    [BGG: Appendice 1.C-a, 3.1.1, 3.1.2]

  • Lezione 6 - 14/03/19

    • Sistemi vincolati di N punti materiali. Vincoli olonomi ideali.
    • Energia cinetica in coordinate libere. Esempio: corpo vincolato su un cilindro.


    [BGG: 3.2.1, 3.2.3, 3.2.4]


  • Lezione 7 - 19/03/19

    • Esercizio: vincolo di rigidità, coordinate libere ed energia cinetica.
    • Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi di N punti materiali soggetti a vincoli ideali.
    • Equazioni di Lagrange sono equazioni differenziali al secondo ordine. 


    [BGG: 3.2.4, 3.3.1]


  • Lezione 8 - 20/03/19


    • Esempio del pendolo sferico: coordinate libere, Lagrangiana, equazioni di Lagrange.
    • Proprietà di invarianza delle equazioni di Lagrange.
    • Equazioni di Lagrange per forze dipendenti dalla velocità. Esempio: forza di Coriolis.

    [BGG: 3.3.1, 3.3.2, 3.6.1]

  • Lezione 9 - 21/03/19

    • Funzionali: definizione ed esempi.
    • Differenziale o variazione di un funzionale. Esempi.
    • Stazionarietà di un funzionale.


    [BGG: 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3]



  • Lezione 10 - 26/03/19

    • Equazioni di Eulero-Lagrange.
    • Principio di minima azione di Hamilton.
    • Integrali primi/costanti del moto per un sistema Lagrangiano.
    • Conservazione dell'energia nel formalismo Lagrangiano.


    [BGG: 4.1.3, 4.1.4, 3.7.1]


  • Lezione 11 - 02/04/19

    • Coordinate cicliche e conservazione dei momenti coniugati.
    • Teorema di Nöther. 
    • Esempi: invarianza per traslazioni e rotazioni, conservazione della quantità di moto e del momento angolare.


    [BGG: 3.7.2, 3.7.3]


  • Lezione 12 - 03/04/19

    • Configurazioni di equilibrio in sistemi Lagrangiani.
    • Linearizzazione attorno a punti di equilibrio.
    • Modi normali di oscillazione e coordinate normali.


    [BGG: 3.9.1, 3.9.2, 3.9.3, 3.9.4]


  • Lezione 13 - 04/04/19

    • Esercizio: corpo vincolato a cerchio rotante attorno al suo diametro.
    • Esercizio: pendolo doppio.
    • Esercizio: pendolo sferico.


    [Tong 2.5.1, 2.5.2, 2.5.3]


  • Lezione 14 - 09/04/19

    • Moto rigido. Corpo rigido (rotazione attorno asse fisso). Momento d'inerzia ed energia cinetica.
    • Moto di due corpi. Moto in campo di forze centrali. 
    • Conservazione del momento angolare e riduzione a un problema a due gradi di libertà.


    [BGG 2.6.1, 2.6.2, 2.7.1 (escluse parti su tensore di inerzia), BGG 2.3.1, 2.3.2; Gold 3.1,3.2]


  • Lezione 15 - 10/04/19

    • Esercizio: due dischi su un piano.
    • Esercizio: ES 2 dello scritto di Luglio 2018.

  • Lezione 16 - 16/04/19

    • Moto centrale: coordinate libere (utilizzando conservazione del momento angolare) e Lagrangiana efficace.
    • Moto centrale: Diagramma delle fasi per equazioni di Lagrange della Lagrangiana efficace.
    • Orbite nel piano.
    • Calcolo dell'orbita per quadrature (usando conservazione dell'energia).


    [BGG 2.3.2, 2.3.4a; Gold 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7]


  • Lezione 17 - 17/04/19

    • Moto centrale: calcolo dell'orbita con la formula di Binet.
    • Orbite e coniche. 
    • Periodo per orbite ellittiche.
    • Legge oraria.


    [BGG: 2.3.3, 2.3.4a, Appendice 2.A; Gold 3.8]

  • Lezione 18 - 18/04/19

    • Moto centrale: Calcolo dell'orbita usando il vettore di Runge-Lenz (costante del moto).
    • Equazioni di Hamilton e Hamiltoniana.
    • Spazio degli stati e spazio delle fasi.


    [Gold: 3.9; BGG 3.4.1, 3.4.3, 3.5]


  • Lezione 19 - 30/04/19

    • Trasformazioni puntuali estese non modificano la forma delle equazioni di Hamilton.
    • Equazioni di Hamilton da principio variazionale.
    • Parentesi di Poisson e costanti del moto. Conservazione dell'energia nel formalismo Hamiltoniano.


    [BGG: 3.4.3, 4.1.8, 3.8.1, 3.8.2, 3.8.3]


  • Lezione 20 - 02/05/19

    • Parentesi di Poisson fondamentali.
    • Esempio: Parentesi di Poisson dei momenti angolari.
    • Trasformazioni canoniche: introduzione, definizione ed esempi.

    [Tong 4.3.1; BGG: 4.2.1]

  • Lezione 21 - 03/05/19

    • Esercizio: ES 2 dello scritto di Giugno 2018.
    • Esercizio: Lagrangiana quadratica, equazioni del moto e risoluzione.
    • Esercizio: corpo vincolato su un paraboloide di rotazione, calcolo Lagrangiana e Hamiltoniana.

  • Lezione 22 - 08/05/19

    • Condizione di Lie.
    • Funzioni generatrici.
    • Flusso Hamiltoniano.


    [BGG: 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4]


  • Lezione 23 - 09/05/19

    • Trasformazioni canoniche e parentesi di Poisson.
    • Teorema di Liouville.
    • Trasformazioni canoniche infinitesime, simmetrie e costanti del moto.


    [BGG: 4.2.5, Gold 9.6, 9.7]


  • Lezione 24 - 14/05/19

    • Esempio: oscillatore armonico e trasformazioni canoniche, diversi criteri di canonicità.
    • Equazione di Hamilton-Jacobi. Applicazione all'oscillatore armonico.


    [Gold: 9.3, 10.1, 10.2; BGG: 4.3.1, 4.3.2]

  • Lezione 25 - 15/05/19

    • Equazione di Hamilton-Jacobi per il moto tridimensionale soggetto a forze centrali.
    • Sistemi integrabili e variabili azione angolo.
    • Variabili azione angolo per il problema di Keplero (parte1).


    [Gold 10.5, 10.6, 10.8; BGG: 4.3.1, 4.3.3]

  • Lezione 26 - 16/05/19

    • Variabili azione angolo per il problema di Keplero (parte2).
    • Cenni alla teoria delle perturbazioni.
    • Esercizio su trasformazioni canoniche.


    [Gold: 10.8; BGG: 4.4.1, 4.4.2]

  • Lezione 27 - 17/05/19

    • Esercizio: punto materiale vincolato ad una barra e sotto azione di forza elastica.
    • Esercizio: carica in campo magnetico costante.
    • Esercizio: ES 2 del primo scritto di settembre 2018.

  • Lezione 28 - 21/05/19

    • Crisi della fisica classica e avvento della meccanica quantistica. (*)


    (*) non verrà chiesto all'esame.

  • Lezione 29 - 22/05/19

    • Equazione di Schroedinger.
    • Funzione d'onda e spazio di Hilbert; distribuzione dei momenti.
    • Pacchetto d'onda Gaussiano.


    [Slides; NoteMQ]

  • Lezione 30 - 23/05/19

    • Pacchetto d'onda Gaussiano: conclusioni.
    • Stati di un sistema quantistico e spazio di Hilbert. 
    • Sistema qubit.


    [NoteMQ]

  • Lezione 31 - 28/05/19

    • Osservabile e operatori autoaggiunti.
    • Esempio qubit.
    • Valor medio.
    • Osservabili posizione e impulso.


    [NoteMQ]

  • Lezione 32 - 29/05/19

    • Variabili dinamiche (osservabili) in sistemi quantistici con analogo classico.
    • Equazione di Schroedinger come equazione agli autovalori per l'Hamiltoniana.
    • Postulati della meccanica quantistica.
    • Equazione di Schoedinger per problemi unidimensionali. 
    • Esempio: Particella libera.


    [NoteMQ2]

  • Lezione 33 - 30/5/19

    • Potenziali a gradino.
    • Condizioni di accettabilità delle soluzioni dell'equazione di Schroedinger.
    • Gradino di potenziale. Coefficienti di riflessione e trasmissione.


    [NoteMQ2]

  • Lezione 34 - 04/06/19

    • Barriera di potenziale (solo risultati, senza conti intermedi).
    • Buca di potenziale (considerazioni generali, senza conti).
    • Buca di potenziale infinita.


    [NoteMQ2]

  • Lezione 35 - 06/06/19

    • Oscillatore armonico quantistico: risoluzione dell'equazione di Schroedinger.


    [NoteMQ2]

  • Esami scritti

  • Topic 39