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  • General

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  • Informazioni generali

    PROGRAMMA

    1) Meccanica Razionale

    • Ripasso equazioni differenziali
    • Meccanica Lagrangiana
    • Meccanica Hamiltoniana
    • Esercizi

    2) Introduzione alla Meccanica Quantistica

    • Crisi della meccanica classica
    • Funzione d'onda ed equazione di Schrödinger
    • Problemi unidimensionali.


    ESAME sessioni in emergenza Covid-19 (online)

    Scritto:

    L'esame si svolgerà in due fasi:

    1. Ci saranno 9 domande a risposta multipla (6 di meccanica razionale e 3 di meccanica quantistica). [25min]
    2. Finito il punto 1, verrà assegnato un esercizio di meccanica razionale, del tipo degli anni passati. [1h e 20min]

    L'esercizio del punto 2 verrà corretto solo se il punto 1 sarà stato superato con un punteggio superiore o uguale a 5/9. 

    Se lo svolgimento dell'esercizio verrà valutata sufficiente (cioè un punto in più della metà del totale), si sarà ammessi all'orale.

    Si veda il documento allegato sotto, che riporta le regole dell'ateneo per gli esami scritti in forma telematica.


    Orale:

    L'orale avrà due momenti, il primo obbligatorio e il secondo facoltativo:

    1. (obbligatorio) una breve discussione di quanto fatto nello scritto (punti 1 e 2), alla conclusione della quale il docente formulerà una valutazione complessiva;
    2. (facoltativo) una domanda di meccanica razionale che aggiungerà al voto del punto 1 un numero che va da -4 a +4.



    ESAME (momentaneamente sospeso)

    Scritto (in trentesimi): 

    1. Domanda di teoria di Meccanica Razionale.
    2. Esercizio di Meccanica Razionale (simile a quelli svolti in classe).
    3. Una domanda/esercizio di Meccanica Quantistica su qualcosa fatto in classe.
    Orale ( voto compreso tra -4 e +4, da aggiungere al voto dello scritto; FACOLTATIVO )

    1. Una domanda di Meccanica Razionale.

    Può sostenere l'orale solo chi ha preso un voto allo scritto ≥ 18! L'orale va sostenuto nello stesso appello dello scritto! Lo studente può scegliere di non sostenere l'esame orale e di registrare il voto dello scritto come voto finale.

    Gli esami con esito negativo comportano l’esclusione dall’appello successivo della stessa sessione [Ref: http://web.units.it/node/22080 comma 6]. Tuttavia, ogni studente avrà a sua disposizione un jolly da utilizzare in una sola sessione [Per eventuali chiarimenti, ne parliamo a voce appena riusciamo a fare una lezione frontale].


    MATERIALE

    • G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, Appunti di Meccanica Razionale (testo seguito durante le lezioni)
    • H. Goldstein, Meccanica Classica (testo di riferimento)
    • V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica (per materiale extra)
    • Yung-kuo Lim, Problems and Solutions on Mechanics (Chapter II: Analytical Mechanics) (esercizi)
    • D. Tong, Classical Dynamics, (review concisa ed esaustiva; link)
    • D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (per la parte di meccanica quantistica)
    • C. Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics (per la parte di meccanica quantistica)


  • Prove d'esame a.a. 2017/18

  • Prove d'esame a.a. 2018/19

  • Lezione 1 - 17/03/20

    • Spazi vettoriali, basi e componenti del vettore, prodotto scalare.
    • Equazione di Newton come equazione differenziale del secondo ordine.
    • Esempi: equazioni lineari omogenee e non-omogenee, attrito, ciclo limite.


    [BGG: 2.1, 1.1.1, 1.1.2]



  • Lezione 2 - 18/03/20

    • Teorema di esistenze e unicità.
    • Sistemi autonomi. Flusso del campo vettoriale.
    • Punti di equilibrio. Stabilità.


    [BGG: 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6]


  • Lezione 3 - 19/03/20

    • Costanti del moto (o integrali primi).
    • Derivata di Lie e costanti del  moto.
    • Teorema di Ljapunov. Energia come funzione di Ljapunov.
    • Linearizzazione attorno a punti di equilibrio.


    [BGG: 1.1.7, 1.1.8, 1.3.1]


  • Lezione 4 - 24/03/30

    • Linearizzazione attorno a punti di equilibrio.
    • Sistemi conservativi a un grado di libertà e piano delle fasi. Trattazione qualitativa.
    • Traiettorie nel piano delle fasi: trattazione qualitativa. Caso generico.

    [BGG: 1.3.1, 1.2.1, 1.2.2]

  • Lezione 5 - 25/03/20

    • Traiettorie nel piano delle fasi: trattazione analitica.
    • Biforcazione a forchetta.
    • Oscillazioni forzate.


    [BGG: 1.2.3, Appendice 1.C-a, 1.4.1]


  • Lezione 6 - 26/03/20

    • Punto materiale in coordinate generiche.
    • Punto materiale vincolato.
    • Sistema di N punti materiali vincolati.


    [BGG 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3]

  • Lezione 7 - 31/03/20

    • Sistemi vincolati di N punti materiali. Vincoli olonomi ideali. Esempio: vincolo di rigidità.
    • Energia cinetica in coordinate libere. Esempio: coordinate cilindriche.


    [BGG: 3.2.1, 3.2.3, 3.2.4]


  • Lezione 8 - 01/04/20

    • Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi di N punti materiali soggetti a vincoli ideali.
    • Equazioni di Lagrange sono equazioni differenziali al secondo ordine. 
    • Pendolo sferico: coordinate libere, Lagrangiana, equazioni di Lagrange.


    [BGG: 3.2.4, 3.3.1]


  • Lezione 9 - 02/04/20

    • Proprietà di invarianza delle equazioni di Lagrange.
    • Equazioni di Lagrange per forze dipendenti dalla velocità. Esempio: forza di Coriolis.
    • Cambiamento di coordinate e moti relativi.

    [BGG: 3.3.1, 3.3.2, 3.6.1]


  • Lezione 10 - 07/04/20

    • Funzionali: definizione ed esempi.
    • Differenziale o variazione di un funzionale. Esempi.


    [BGG: 4.1.1, 4.1.2]



  • Lezione 11 - 08/04/20

    • Stazionarietà di un funzionale ed equazioni di Eulero-Lagrange.
    • Principio di minima azione di Hamilton.
    • Integrali primi/costanti del moto per un sistema Lagrangiano.
    • Conservazione dell'energia nel formalismo Lagrangiano.
    • Coordinate cicliche e momenti coniugati.


    [BGG: 4.1.3, 4.1.4, 3.7.1]


  • Lezione 12 - 09/04/20

    • Coordinate cicliche e lagrangiana ridotta.
    • Teorema di Nöther. 
    • Esempio: invarianza per rotazioni, conservazione del momento angolare.


    [BGG: 3.7.2, 3.7.3; Tong: 2.5.1]



  • Lezione 13 - 15/04/20

    • Configurazioni di equilibrio in sistemi Lagrangiani.
    • Linearizzazione attorno a punti di equilibrio.
    • Modi normali di oscillazione e coordinate normali.


    [BGG: 3.9.1, 3.9.2, 3.9.3, 3.9.4]


  • Lezione 14 - 16/04/20

    • Esercizio: pendolo doppio.
    • Esercizio: pendolo sferico.
    • Esercizio: cambio di coordinate lineare.


    [Tong 2.5.2, 2.5.3]



  • Lezione 15 - 21/04/20

    • Moto rigido. Corpo rigido. Operatore d'inerzia, momento d'inerzia ed energia cinetica.
    • Moto di due corpi. Moto in campo di forze centrali. Conservazione del momento angolare e riduzione a un problema a due gradi di libertà.


    [BGG 2.6.1, 2.6.2, 2.7.1, BGG 2.3.1, 2.3.2; Gold 3.1,3.2]


  • Lezione 16 - 22/04/20

    • Esercizio 2 del 26/07/18.
    • Esercizio 2 del 24/06/19.

  • Lezione 17 - 23/04/20

    • Moto centrale: coordinate libere (utilizzando conservazione del momento angolare) e Lagrangiana efficace.
    • Moto centrale: Diagramma delle fasi per equazioni di Lagrange della Lagrangiana efficace.
    • Orbite nel piano.
    • Calcolo dell'orbita dalle equazioni di Lagrange dalla Lagrangiana efficace.


    [BGG 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4a]


  • Lezione 18 - 28/04/20

    • Orbite nel piano.
    • Calcolo dell'orbita per quadrature (usando conservazione dell'energia).
    • Orbite e coniche.
    • Periodo per orbite ellittiche e leggi di Keplero.


    [BGG 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4a, Appendice 2.A; Gold 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7]



  • Lezione 19 - 29/04/20

    • Terza legge di Keplero per pianeti attorno al sole.
    • Legge oraria.
    • Moto centrale: Calcolo dell'orbita usando il vettore di Runge-Lenz (costante del moto).


    [Gold: 3.8, 3.9]

  • Lezione 20 - 30/04/20

    • Esercizio 2 dello scritto del 10/09/19.
    • Equazioni di Hamilton e Hamiltoniana.
    • Spazio degli stati e spazio delle fasi.


    [BGG 3.4.1, 3.4.3, 3.5]


  • Lezione 21 - 01/05/20 (registrata)

    • Esercizio 2 dello scritto del 19/02/20.
    • Esercizio: pendolo con molla.

  • Lezione 22 - 05/05/20

    • Esempi di sistemi Hamiltoniani.
    • Corpo soggetto a forza elettromagnetica.
    • Equazioni di Hamilton da principio variazionale.
    • Parentesi di Poisson e costanti del moto. Proprietà delle parentesi di Poisson.


    [BGG: 3.4.3, 4.1.8, 3.8.1, 3.8.2, 3.8.3]


  • Lezione 23 - 07/05/20

    • Identità di Jacobi.
    • Parentesi di Poisson fondamentali.
    • Parentesi di Poisson dei momenti angolari.
    • Parentesi di Poisson e Vettore di Runge Lenz.


    [Tong 4.3.1]


  • Lezione 24 - 12/05/20

    • Trasformazioni canoniche: definizione ed esempi.
    • Condizione di Lie.
    • Trasformazioni canoniche e Parentesi di Poisson.


    [BGG: 4.2.1, 4.2.2, 4.2.5]


  • Lezione 25 - 13/05/20

    • Trasformazioni canoniche e parentesi di Poisson.
    • Flusso Hamiltoniano come trasformazione canonica.
    • Teorema di Liouville.

    [BGG: 4.2.4, 4.2.5]

  • Lezione 26 - 14/05/20

    • Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche.
    • Esempio: oscillatore armonico e trasformazioni canoniche, diversi criteri di canonicità.
    • Trasformazioni canoniche infinitesime, simmetrie e costanti del moto.

    [BGG: 4.2.3, Gold 9.6, 9.7]

  • Lezione 27 - 19/05/20

    • Equazione di Hamilton-Jacobi. Applicazione all'oscillatore armonico.
    • Equazione di Hamilton-Jacobi per il moto tridimensionale soggetto a forze centrali.


    [Gold: 10.1, 10.2, 10.5; BGG: 4.3.1, 4.3.2]


  • Lezione 28 - 20/05/20

    • Sistemi integrabili e variabili azione angolo.
    • Esercizio 2 del compito del 25/09/19.


    [Gold 10.6; BGG: 4.3.1, 4.3.3]

  • Lezione 29 - 21/05/20

    • Crisi della fisica classica e avvento della meccanica quantistica. (*)
    • Equazione di Schroedinger.


    (*) non verrà chiesto all'esame.


  • Lezione 30 - 26/05/20

    • Funzione d'onda e densità di probabilità; distribuzione dei momenti.
    • Stati quantistici e spazio di Hilbert.
    • Pacchetto d'onda Gaussiano.


  • Lezione 31 - 27/05/20

    • Osservabili in meccanica quantistica.
    • Operatori X e P e loro commutatore.
    • Commutatori e parentesi di Poisson (e generatori di simmetrie).

  • Lezione 32 - 28/05/20

    • Equazione di Schroedinger ed equazione di continuità.
    • Equazione di Schroedinger e Hamiltoniana.
    • Equazione di Schroedinger per sistemi unidimensionali.
    • Particella libera.
    • Potenziali a gradino.

  • Lezione 33 - 03/06/20

    • Condizioni di accettabilità delle soluzioni dell'equazione di Schroedinger.
    • Gradino di potenziale. Coefficienti di riflessione e trasmissione.

  • Lezione 34 - 04/06/20

    • Barriera di potenziale.
    • Buca di potenziale.

  • Lezione 35 - 09/06/20

    • Buca di potenziale infinita.
    • Sistemi unidimensionali e spettro discreto.
    • Buca di potenziale a Delta di Dirac.

  • Lezione 36 - 10/06/20

    • Esercizio 2, compito 18.06.18.
    • Esercizio 2, compito 29.01.20.
    • Esercizio: corpi collegati a molle.

  • Lezione 37 - 11/06/20

    • Oscillatore armonico quantistico unidimensionale: risoluzione dell'equazione di Schroedinger.

  • Quiz prova giovedì 25 giugno

  • Esame del 29/06/20

  • Esame del 13/07/20

  • Esame del 02/09/20

  • Esame del 16/09/20

  • Esame del 25/01/21

  • Esame del 15/02/21