Schema della sezione

  • Introduzione

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  • Informazioni Generali

    Contenuti:

    1) Funzioni di variabile complessa:

    * funzioni analitiche

    * teorema di Cauchy

    * applicazione al calcolo di integrali

    2) Trasformata di Fourier:

    * trasformata di Fourier in L^1

    * trasformata di Fourier in L^2

    * trasformata di distribuzioni temperate

    3) Spazi di Hilbert

    * sistemi ortonormali completi

    * operatori 

    * cenni sullo spettro


    Testi di riferimento: G. Cicogna "Metodi matematici della Fisica", 2015 Springer (qui in versione ebook) ; G.  Cicogna "Exercises and Problems in Mathematical Methods of Physics", 2018 Springer .

    Altri testi utili: M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni "Guide To Mathematical Methods For Physicists, A: With Problems And Solutions", 2017 World Scientific; F. Bagarello "Fisica Matematica", 2007 Zanichelli; E.B. Saff, A.D. Snider "Fundamentals of Complex Analysis", 2003 Prentice Hall (qui in versione ebook); M.L. Boas, "Mathematical Methods in Physical Sciences", 2006 Wiley.

    Link per iscriversi al Team del corso su MS Teams (da cui sono accessibili le registrazioni): qui


  • Modalità d'Esame


    Esame scritto della durata di 3 ore, con 3 esercizi, uno su funzioni di variabile complessa, uno su trasformata di Fourier, uno su spazi di Hilbert. Ciascun esercizio è diviso in 2 o 3 punti da svolgere, che hanno un punteggio assegnato. Il punteggio totale è 33. Si supera lo scritto con 18. Si ottiene la lode con 33. Vi comunico i risultati tramite email. Più in basso trovate gli scritti degli anni passati, nel primo anno ce ne sono alcuni da 5 ore ma ora lo scritto è di 3 ore.

    Se si supera lo scritto (punteggio maggiore o uguale a 18) si può scegliere di fare l'orale. In questo caso risponderete all'email in cui vi comunico l'esito dello scritto e ci accorderemo su data e ora. L'esame orale dura un'ora e consiste nello svolgimento di due esercizi, più brevi di quelli dello scritto. All'orale vi mostro l'esercizio, vi dò tempo per pensarci anche scrivendovi appunti su un foglio se volete, e quando vi sentite pronti vi chiedo di dirmi la vostra soluzione dell'esercizio. Finito l'esame, assegno un voto all'orale, e il punteggio finale è la media aritmetica tra il voto dello scritto e quello dell'orale.

    Sia allo scritto che all'orale si possono consultare appunti.

  • Esercitazioni

    La dott.ssa Sonia Foschiatti svolgerà esercitazioni facoltative, risolvendo esercizi d'esame, nei seguenti giorni e orari:

    * Mercoledì 6, 13 e 20 Dicembre e 10 Gennaio dalle 2 alle 4 in aula A del DF;

    * Martedì 9 Gennaio e Venerdì 12 Gennaio dalle 11 alle 13 in aula A dell'edificio A;


  • Esami Passati e Soluzioni

  • Note


    Trovate le note del corso a questo link.

    Nota bene: sono aggiornate solo fino all'ultima lezione svolta, quelle delle lezioni future potrebbero subire modifiche. È fortemente consigliato di studiare gli argomenti anche su un libro di testo.

  • Lezione 1

    * Presentazione del corso;

    * Ripasso su serie di potenze: raggio di convergenza, esempi;

    * Proprietà delle serie di potenze: unicità, esistenza di serie centrata in un altro punto interno all'intervallo di convergenza;

    * Funzioni analitiche di variabile reale;

    Referenze: M.L. Boas, Capitolo 1, Sezioni 10-11


  • Lezione 2

    * Esempi importanti di funzioni analitiche reali: esponenziale, funzioni trigonometriche, logaritmo, potenza di 1+x;

    * Esempi di calcolo di serie di potenze: funzione composta, notazione O grande;

    * Ripasso su Numeri Complessi: definizione, operazioni di somma e prodotto, elementi neutri e inversi, campo complesso;

    * Altre operazioni sui numeri complessi: complesso coniugato, parte reale e parte immaginaria, modulo;

    * Uso del modulo per definire distanza, convergenza e continuità;

    * Coordinate polari: modulo e argomento, formula di Eulero;

    * Interpretazione geometrica di somma (traslazione) e prodotto (dilatazione e rotazione);

    Referenze: M.L. Boas, Capitolo 1, sezioni 12-13; Capitolo 2.


  • Lezione 3


    * Potenze e radici n-esime usando le coordinate polari;

    * Radice n-esima come funzione a più valori, definizione univoca tramite restrizione del codominio a uno spicchio, discontinuità;

    * Serie di potenze su C: convergenza assoluta, raggio di convergenza;

    * Esempi importanti: esponenziale complesso, funzioni trigonometriche di variabile complessa, generalizzazione della formula di Eulero: seno e coseno in termini dell'esponenziale complesso, funzioni iperboliche di variabile complessa e relazione con le funzioni trigonometriche;

    * Proprietà dell'esponenziale complesso: manda somma in prodotto, calcolo del modulo, periodicità nella direzione immaginaria;

    * Logaritmo come funzione a più valori, definizione univoca tramite restrizione del codominio a una striscia, discontinuità, serie di potenze del logaritmo;

    * Esercizio su espansione in serie;

    Referenze: M.L. Boas, Capitolo 2.

  • Lezione 4

    * Funzioni di variabile complessa;

    * Limite;

    * Punto all'infinito su C;

    * Continuità, estensione per continuità, esempi;

    * Derivata: concetti di derivata per funzioni da R^2 a R^2, derivata parziale e differenziale;

    * Derivata: derivata in senso complesso, confronto con differenziale, proprietà, esempi; 

    * Definizione di funzione analitica;

    * Condizioni di Cauchy-Riemann;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.1;

                       M. Petrini et al, Capitolo 1, sezioni 1.1, 1.2, 1.4, 1.5;


  • Lezione 5


    * Esempi su condizioni di CR;

    * Serie di potenze e serie bilatere come esempi di funzioni analitiche nel disco/corona di convergenza;

    * La parte reale e immaginaria di una funzione analitica sono funzioni armoniche, concetto di armonica coniugata, corrispondenza tra funzioni armoniche e funzioni analitiche;

    * Integrale: definizione di cammino, nozione di integrale su cammino per funzione da R^2 a R^2;

    * Proprietà dell'integrale su cammino per funzione da R^2 a R^2: indipendenza dalla parametrizzazione, dipendenza dall'orientazione, integrale di un gradiente;

    * Integrale su cammino per funzione su C, relazione con integrale su cammino per funzione da R^2 in R^2;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.2, 3.3 e 3.14; 

                       M.L. Boas, Capitolo 6, sezione 8;

                       M. Petrini et al, Capitolo 2, sezioni 2.1 e 2.2;


  • Lezione 6

    * Proprietà dell'integrale su cammino di una funzione di variabile complessa: indipendenza dalla parametrizzazione, dipendenza dall'orientazione, integrale di una derivata totale, maggiorazione del modulo dell'integrale con il modulo del massimo della funzione per la lunghezza del cammino;

    * Esempi;

    * Esercizi di riepilogo;

    * Integrale di z^n su un cerchio centrato nell'origine, integrale di una serie bilatera centrata nell'origine su un cerchio centrato nell'origine;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.3;

                       M. Petrini et al, Capitolo 2, sezioni 2.1 e 2.2;


  • Lezione 7

    * Teorema di Green: dimostrazione per regione inclusa tra grafici, generalizzazione a domini generici;

    * Applicazioni: differenza tra due integrali su cammini per cammini tra due estremi fissati, condizione affinché un campo vettoriale sia un gradiente, determinazione dell'armonica coniugata di una funzione armonica data, differenza tra due integrali su cammini chiusi in domini non semplicemente connessi; 


    Referenze: M.L. Boas, Capitolo 6, sezione 9;


  • Lezione 8

    * Teorema di Cauchy;

    * Applicazioni: deformazioni del cammino con gli estremi fissati, deformazioni di cammini chiusi in regioni non semplicemente connesse, esempi;

    * Formula integrale di Cauchy;

    * Applicazione: derivabilità infinite volte;

    * Serie di Taylor;

    * Serie di Taylor-Laurent;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.4 e 3.5;

                       M. Petrini et al, Capitolo 2, sezioni 2.3 e 2.6, Capitolo 3, sezioni 3.2 e 3.3;


  • Lezione 9

    * Osservazioni su espansione in serie bilatera: una stessa funzione può ammettere più espansioni centrate nello stesso punto, che convergono in regioni diverse del piano complesso; 

    * Esercizi: soluzione esercizio per casa, esercizio su serie di Taylor e Taylor-Laurent, esercizio su calcolo di integrale di funzione razionale di funzioni trigonometriche;

    * Visualizzazioni di funzioni di variabile complessa tramite Mathematica;

  • Lezione 10

    * Estensione analitica;

    * La funzione Gamma di Eulero;

    * Tipi di singolarità isolate: singolarità rimuovibili, se la funzione è limitata nell'intorno allora la singolarità è rimuovibile;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.6, 3.7;

                       M. Petrini et al, Capitolo 3, sezione 3.4;


  • Lezione 11

    * Tipi di singolarità isolate: Polo di ordine n, esempi;

    * Tipi di singolarità isolate: singolarità essenziali, esempi;

    * Funzioni meromorfe;

    * Residuo di una funzione in una singolarità isolata;

    * Formula per il residuo a un polo di ordine n;

    * Teorema dei residui;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.8 e 3.9;


  • Lezione 12

    * Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali sulla retta reale, tramite aggiunta di arco all'infinito;

    * Esercizi su residui e calcolo di integrali;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.9

  • Lezione 13

    * Lemma di Jordan;

    * Esempio di calcolo di integrali reali con Lemma di Jordan;

    * Calcolo di integrale di sin x/x  usando lemma di Jordan e parte principale;


    Referenza: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.13;

                       M. Petrini et al, Capitolo 4, sezione 4.4;

  • Lezione 14

    * Tipo della singolarità all'infinito;

    * Residuo all'infinito;

    * Teorema esterno dei residui;

    * Teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra;

    * Rami di una funzione a più valori, scelta del taglio: esempio del log;

    * Punti di diramazione;

    Referenze:  G. Cicogna, Capitolo 3, sezionI 3.11 e 3.12;

                        M. Petrini et al, Capitolo 2, sezione 2.8.3;

                                                   Capitolo 1, sezione 1.3.2; Capitolo 4, sezione 4.3.3;


  • Lezione 15

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Esercizi su tipi di singolarità isolate;


  • Lezione 16

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Punti di diramazione e tagli;

    * Esempio della funzione radice n-esima e potenza reale generica;

    * Esempio di funzioni con soli punti di diramazione al finito: prodotto di radici quadrate;

    * Esempio di integrale con radici quadrate;


  • Lezione 17

    * Soluzione di un esercizio per casa;

    * Integrali con radici quadrate, esempio;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.12;

                       M. Petrini et al, Capitolo 4, sezione 4.3.3;


  • Lezione 18

    * Integrali sull'asse reale positivo usando la funzione logaritmo, esempio;

    * Riassunto su argomenti trattati riguardo funzioni di variabile complessa;

    * Trasformata di Fourier: introduzione e motivazione, uso di espansione in modi a frequenza fissata per risolvere equazioni lineari;

    * Serie di Fourier: caso di frequenze discrete;

    * Espansione di una funzione C^1 nella "base" di funzioni periodiche, formula per i coefficienti;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.12; Capitolo 4, sezione 4.1;

                       M. Petrini et al, Capitolo 4, sezione 4.3.3; Capitolo 8, sezione 8.1.1;


  • Lezione 19

    * Teorema su serie di Fourier per funzioni C^1;

    * Esempio, dimostrazione con software Mathematica;

    * Esercizio: applicazione della serie di Fourier all'equazione del calore;

    * Soluzione del secondo esercizio per casa;

    * Esercizio su integrali con taglio: Formula di riflessione della funzione Gamma;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezione 4.1;

                       M. Petrini et al, Capitolo 8, sezione 8.1.1; 


  • Lezione 20

    * Dalla serie alla trasformata: limite dall'intervallo di lunghezza finita a tutta la retta reale, derivazione euristica delle formule per trasformata e antitrasformata;

    * Cenni su integrale di Lebesgue: misura, insiemi misurabili, proprietà della misura di Lebesgue;

    * Risultati notevoli su integrale di Lebesgue: teorema della convergenza dominata, teorema di Fubini-Tonelli (solo enunciati);

    * Definizione di spazi L^1 e L^2, definizione della norma;

  • Lezione 21

    * Proprietà di L^1 e L^2: completezza, le funzioni continue sono sottospazio denso;

    * Definizione di trasformata di Fourier in L^1;

    * Proprietà: linearità, continuità, limitatezza, prodotto di convoluzione, scambio di derivata e moltiplicazione per variabile;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezioni 4.3 e 4.4;

                      M. Petrini et al., Capitolo 8, inizio sezione 8.2 e sottosezione 8.2.1;


  • Lezione 22

    * Proprietà della trasformata in L^1: teorema di Riemann-Lebesgue;

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Esempi di trasformata di Fourier, check delle proprietà;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezione 4.5;

                       M. Petrini et al., Capitolo 8, inizio sezione 8.2 e sottosezione 8.2.1;


  • Lezione 23

    * Esempio di applicazione della trasformata due volte e relazione con la funzione iniziale;

    * Trasformata di Fourier della gaussiana;

    * Trasformata di Fourier su L^2: motivazioni;

    * Lo spazio L^2: prodotto scalare, proprietà, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, continuità;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezione 4.6 

  • Lezione 24

    * Definizione di trasformata di Fourier su L^2: approssimazione di funzione L^2 con funzione in L^1 intersezione L^2, identità di Parseval in L^1 intersezione L^2, proprietà di Cauchy per la successione delle trasformate di Fourier, esistenza del limite;

    * Identità di Parseval per trasformata di Fourier su L^2:

    * Esempio;

    * Antitrasformata, dimostrazione della formula;

    * Identità di Parseval generalizzata per il prodotto scalare di due funzioni in L^2;

    * Proprietà della trasformata in L^2: derivate e moltiplicazione per variabile;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezioni 4.6, 4.7;


  • Lezione 25

    * Proprietà della trasformata in L^2: trasformata del prodotto è il prodotto di convoluzione delle trasformate, differenza con L^1;

    * Interpretazione della trasformata come decomposizione in armoniche a frequenza fissata, confronto con la serie di Fourier, identità di Parseval per la serie;

    * Principio di indeterminazione;

    * Esempi: verifica della proprietà sulla trasformata del prodotto;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, 4.1 e 4.2;

  • Lezione 26

    * Esercizio: trasformata dell'inverso del coseno iperbolico;

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Dimostrazione della proprietà sulla derivata della trasformata in L^2;

  • Lezione 27

    * Generalizzazione del limite tramite introduzione di funzioni test a decrescenza rapida, spazio di Schwarz, spazio delle distribuzioni temperate, limite in senso distribuzionale;

    * La distribuzione delta di Dirac, ortogonalità tra le funzioni in cui si espande nel caso continuo;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 5, sezioni 5.1 e 5.2;

  • Lezione 28

    * Identità di Parseval usando la nozione di ortogonalità nel caso continuo;

    * Altri esempi di distribuzioni: la theta di Heaviside, la parte principale di 1/x;

    * Operazioni su distribuzioni: derivata, moltiplicazione per polinomio;

    * Esempi: la derivata della distribuzione theta è la delta, derivata della delta, moltiplicazione per x della delta, distribuzione parte principale di 1/x, la moltiplicazione della parte principale di 1/x per x dà 1.

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 5, sezioni 5.3, 5.4 e 5.5;

                       M. Petrini et al: Capitolo 7, sezione 7.4.


  • Lezione 29

    * Operazioni su distribuzioni: trasformata di Fourier;

    * Trasformata di Fourier della delta di Dirac, trasformata di Fourier dell'esponenziale complesso, trasformata di Fourier di una costante, trasformata di Fourier della theta di Heaviside, trasformata di Fourier della parte principale di 1/x;

    * Ricapitolazione su argomenti trattati riguardo la trasformata di Fourier;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 5, sezione 5.4;

                       M. Petrini et al, Capitolo 8, sezione 8.2.4;


  • Lezione 30

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Spazi vettoriali infinito dimensionali, concetto di base, esempio delle successioni;

    * Serie di vettori, convergenza richiede il concetto di norma, completezza e spazi di Banach, completamento, sottoinsiemi densi;

    * Problema di determinare i coefficienti nell'espansione in serie di un vettore, concetto di prodotto scalare, norma indotta, esempi;

    * Definizione di spazio di Hilbert;

    * Sistema indipendente, sistema ortonormale, ortonormalizzazione di Gram-Schmidt;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.6, 2.7, 2.10 e 2.11;

  • Lezione 31

    * Serie di Fourier e coefficienti di Fourier per un vettore in un sistema ortonormale, disuguaglianza di Bessel;

    * Definizione di sistema ortonormale completo;

    * Esempi di sistema ortonormale completo o non completo in l^2;

    * Esempi di sistemi ortonormali completi: L^2 e serie di Fourier;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.13 e 2.14;

  • Lezione 32

    * Caratterizzazione dei sistemi ortonormali completi: identità di Parseval, un vettore ortogonale a tutti gli elementi di un sistema completo è nullo;

    * Sistemi completi non ortonormali;

    * Spazi di Hilbert separabili, mappa a l^2;

    * Identità di Parseval generalizzata;

    * Esercizi su sistemi ortonormali completi;

    * Operatori lineari su spazi di Hilbert;

    * Esempi di operatori non definiti su tutto lo spazio, derivata su L^2, dominio di un operatore;

    * Continuità di un operatore lineare, estensione del dominio per continuità;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.13, 2.14, 2.16, 2.17 e 2.18;

  • Lezione 33

    * Applicazione della trasformata di Fourier: risposta lineare di un sistema a un impulso esterno, funzione di Green come risposta a un impulso esterno a delta di Dirac, proprietà di causalità e implicazioni per la trasformata di Fourier della funzione di Green;

    * Esercizio sulla funzione di Green;

    * Esercizio su sistemi ortonormali completi;

    * Esercizio su continuità di un operatore;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezioni 4.9 e 4.10;

  • Lezione 34

    * Operatori limitati, norma di un operatore, convergenza in norma per operatori;

    * Equivalenza di continuità e limitatezza;

    * Strategia per calcolare la norma di un operatore;

    * Esempi su norma operatoriale;

    * Aggiunto di un operatore limitato definito su tutto lo spazio di Hilbert;

    * Proprietà dell'aggiunto;

    * Caso più generale di operatore su un dominio denso: definizione del dominio dell'aggiunto e dell'operatore aggiunto;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.16, 2.17, 2.18 e 2.19;

  • Lezione 35

    * Esempi di aggiunto di un operatore;

    * Definizione di operatore simmetrico e autoaggiunto;

    * Esempio di aggiunto per operatore non limitato: l'operatore derivata su L^2 di un intervallo, domini con diverse condizioni agli estremi e corrispondenti domini dell'aggiunto, l'operatore derivata moltiplicato per i è autoaggiunto sul dominio con condizioni al bordo periodiche;

    * Aggiunto della trasformata di Fourier;

    * Operatori unitari, trasformata di Fourier come operatore unitario, proprietà di operatori unitari;

    * Autovalori e autovettori;

    * Esempi di operatori in dimensione infinita con nessun autovettore, o con un continuo di autovettori;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.19, 2.20, 2.26, 2.27 ;

  • Lezione 36

    * Cenni su operatori compatti, teorema di Hilbert-Schmidt;

    * Applicazione del teorema di Hilbert-Schmidt a equazione del calore o di Schroedinger;

    * Esempio di operatore con s.o.c. di autovettori: derivata seconda su L^2([-L,L]), dipendenza dalle condizioni al bordo;

    * Nozione di spettro. Esempio: operatore di moltiplicazione per variabile su L^2 di tutta la retta, collegamento con l'operatore derivata tramite la trasformata di Fourier;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.19, 2.20, 2.26, 2.27 ;