Schema della sezione

  • Introduzione

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  • Informazioni Generali

    Testi di riferimento: G. Cicogna "Metodi matematici della Fisica", 2015 Springer ; G.  Cicogna "Exercises and Problems in Mathematical Methods of Physics", 2018 Springer .

    Altri testi utili: M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni "Guide To Mathematical Methods For Physicists, A: With Problems And Solutions", 2017 World Scientific; F. Bagarello "Fisica Matematica", 2007 Zanichelli; E.B. Saff, A.D. Snider "Fundamentals of Complex Analysis", 2003 Prentice Hall; M.L. Boas, "Mathematical Methods in Physical Sciences", 2006 Wiley.

    Modalità esame: Scritto + orale facoltativo per chi ha superato lo scritto. Entrambi sono basati su soluzione di esercizi.

    Link per iscriversi al Team del corso su MS Teams (da cui sono accessibili le registrazioni):  

    https://teams.microsoft.com/l/team/19%3a2BnFtI_XKchDgOqsGGgYtCAyT4xsGUFdGk9tI3cT0p01%40thread.tacv2/conversations?groupId=fe6a6ece-ab8b-42ec-865e-9701df87783e&tenantId=a54b3635-128c-460f-b967-6ded8df82e75


  • Esami Passati

  • Esercizi

  • Lezione 1

    * Presentazione del corso;

    * Ripasso su serie di potenze: raggio di convergenza, esempi;

    * Proprietà delle serie di potenze: unicità, esistenza di serie centrata in un altro punto interno all'intervallo di convergenza;

    * Funzioni analitiche di variabile reale;


    Video: https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/General/Recordings/Solo%20visualizzazione/Nuova%20riunione%20del%20canale-20211006_111547-Registrazione%20della%20riunione.mp4?web=1

  • Lezione 2

    * Esempi importanti di funzioni analitiche reali: esponenziale, funzioni trigonometriche, logaritmo, potenza di 1+x;

    * Esempi di calcolo di serie di potenze: arcsin, funzione composta, notazione O grande;

    * Ripasso su Numeri Complessi: definizione, operazioni di somma e prodotto, elementi neutri e inversi, campo complesso;

    * Altre operazioni sui numeri complessi: complesso coniugato, parte reale e parte immaginaria, modulo;

    * Uso del modulo per definire distanza, convergenza e continuità;

    * Coordinate polari: modulo e argomento, formula di Eulero;

    * Interpretazione geometrica di somma (traslazione) e prodotto (dilatazione e rotazione);

    * Potenze e radici n-esime;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%202/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%202_-20211007_111623-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=Joz3z9

  • Lezione 3

    * Radice n-esima come funzione a più valori, definizione univoca tramite restrizione del codominio a uno spicchio, discontinuità;

    * Serie di potenze su C: convergenza assoluta, raggio di convergenza;

    * Esempi importanti: esponenziale complesso, funzioni trigonometriche di variabile complessa, generalizzazione della formula di Eulero: seno e coseno in termini dell'esponenziale complesso, funzioni iperboliche di variabile complessa e relazione con le funzioni trigonometriche;

    * Proprietà dell'esponenziale complesso: manda somma in prodotto, calcolo del modulo, periodicità nella direzione immaginaria;

    * Logaritmo come funzione a più valori, definizione univoca tramite restrizione del codominio a una striscia, discontinuità, serie di potenze del logaritmo;

    * Funzioni inverse trigonometriche tramite logaritmo di variabile complessa, esempio di arcsin;

    * Esercizi di riepilogo;

    Video: https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%203/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%203_-20211008_111544-Registrazione%20della%20riunione.mp4?web=1

  • Lezione 4

    * Funzioni di variabile complessa;

    * Limite;

    * Punto all'infinito su C;

    * Continuità, estensione per continuità, esempi;

    * Derivata: concetti di derivata per funzioni da R^2 a R^2, derivata parziale e differenziale;

    * Derivata: derivata in senso complesso, confronto con differenziale, proprietà, esempi; 

    * Definizione di funzione analitica;

    * Condizioni di Cauchy-Riemann;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%204/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%204_-20211013_111525-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=HBCUss

  • Lezione 5

    * Esempi su condizioni di CR;

    * Serie di potenze e serie bilatere come esempi di funzioni analitiche nel disco/corona di convergenza;

    * La parte reale e immaginaria di una funzione analitica sono funzioni armoniche, concetto di armonica coniugata, corrispondenza tra funzioni armoniche e funzioni analitiche;

    * Integrale: definizione di cammino, nozione di integrale su cammino per funzione da R^2 a R^2;

    * Proprietà dell'integrale su cammino per funzione da R^2 a R^2: indipendenza dalla parametrizzazione, dipendenza dall'orientazione, integrale di un gradiente;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%205/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%205_-20211014_111614-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=DrHsD4

  • Lezione 6

    * Integrale su cammino per funzione su C, relazione con integrale su cammino per funzione da R^2 in R^2;

    * Proprietà: indipendenza dalla parametrizzazione, dipendenza dall'orientazione, integrale di una derivata totale, maggiorazione del modulo dell'integrale con il modulo del massimo della funzione per la lunghezza del cammino;

    * Esempi;

    * Esercizi di riepilogo;

    * Integrale di z^n su un cerchio centrato nell'origine, integrale di una serie bilatera centrata nell'origine su un cerchio centrato nell'origine;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%206/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%206_-20211015_111709-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=reuwgf

  • Lezione 7

    * Teorema di Green: dimostrazione per regione inclusa tra grafici, generalizzazione a domini generici;

    * Applicazioni: differenza tra due integrali su cammini per cammini tra due estremi fissati, condizione affinché un campo vettoriale sia un gradiente, determinazione dell'armonica coniugata di una funzione armonica data, differenza tra due integrali su cammini chiusi in domini non semplicemente connessi; 


    Video: https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%207%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione%2FRiunione%20in%20%5FLezione%207%5F%2D20211020%5F111513%2DRegistrazione%20della%20riunione%2Emp4&parent=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%207%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione

  • Lezione 8

    * Teorema di Cauchy;

    * Applicazioni: deformazioni del cammino con gli estremi fissati, deformazioni di cammini chiusi in regioni non semplicemente connesse, esempi;

    * Formula integrale di Cauchy;

    * Applicazione: derivabilità infinite volte;

    * Serie di Taylor;

    * Serie di Taylor-Laurent;

    Video: https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%207%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione%2FRiunione%20in%20%5FLezione%207%5F%2D20211020%5F111513%2DRegistrazione%20della%20riunione%2Emp4&parent=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%207%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione

  • Lezione 9

    * Serie bilatera per funzione analitica in una corona circolare, esistenza di diverse espansioni per una stessa funzione centrate in uno stesso punto, con diverse regioni di convergenza;

    * Esercizi: soluzione esercizio per casa, esercizio su serie di Taylor e Taylor-Laurent, esercizio su calcolo di integrale di funzione razionale di funzioni trigonometriche;


    Video: https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%209%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione%2FRiunione%20in%20%5FLezione%209%5F%2D20211022%5F111636%2DRegistrazione%20della%20riunione%2Emp4&parent=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%209%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione

  • Lezione 10

    * Estensione analitica;

    * La funzione Gamma di Eulero;

    * Tipi di singolarità isolate: singolarità rimuovibili, se la funzione è limitata nell'intorno allora la singolarità è rimuovibile;

    * Tipi di singolarità isolate: Polo di ordine n, esempi;


    Video: 

    prima parte 

    https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2010/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2010_-20211027_111547-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=tvq6lT

    seconda parte 

    https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2010/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2010_-20211027_112752-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=DrBcND

  • Lezione 11

    * Tipi di singolarità isolate: singolarità essenziali, esempi;

    * Teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra;

    * Funzioni meromorfe;

    * Residuo di una funzione in una singolarità isolata;

    * Formula per il residuo a un polo di ordine n;

    * Teorema dei residui;

    * Applicazione al calcolo di integrali sulla retta reale;


    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2011/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2011_-20211028_111920-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=2bfFtJ

  • Lezione 12

    * Tipo della singolarità all'infinito;

    * Definizione di residuo all'infinito;

    * Teorema esterno dei residui;

    * Esercizi su: teorema di Liouville, tipi di singolarità, funzione Gamma;


    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2012/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2012_-20211029_111736-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=9PyGej

  • Lezione 13

    * Esempi di calcolo di integrali reali con strategia dell'arco a infinito;

    * Lemma di Jordan;

    * Esempi di calcolo di integrali reali con Lemma di Jordan;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2013/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2013_-20211104_111640-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=fIRp9K

  • Lezione 14

    * Calcolo di integrale di sin x /x  usando lemma di Jordan e parte principale;
    * Calcolo di integrale di 1/cosh(x);

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Rami di una funzione a più valori, scelta del taglio;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2014/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2014_-20211105_111815-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=34Eenu

  • Lezione 15

    * Punti di diramazione e tagli;

    * Esempio della funzione radice n-esima e potenza reale generica;

    * Esempio di funzioni con soli punti di diramazione al finito: prodotto di radici quadrate;

    * Utilizzo per il calcolo di integrali reali;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2015/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2015_-20211109_093040-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=OOJ3NT

  • Lezione 16

    * Esempi di utilizzo di funzioni polidrome per il calcolo di integrali: prodotti di radici, logaritmo;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2016/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2016_-20211110_111659-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=dNGrJv

  • Lezione 17

    * Riassunto su argomenti trattati riguardo funzioni di variabile complessa;

    * Trasformata di Fourier: introduzione e motivazione, uso di espansione in modi a frequenza fissata per risolvere equazioni lineari;

    * Serie di Fourier: caso di frequenze discrete;

    * Espansione di una funzione C^1 nella "base" di funzioni periodiche, formula per i coefficienti, esempi;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2017/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2017_-20211111_111741-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=qC8r0D

  • Lezione 18

    * Esercizio: applicazione della serie di Fourier all'equazione del calore;

    * Esercizio su calcolo di integrali con funzioni polidrome;

    * Applicazione del calcolo di integrali con funzioni polidrome: formula di riflessione per la funzione Gamma, applicazione al calcolo dell'integrale di una gaussiana;

    * Soluzione di un esercizio per casa;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2018/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2018_-20211112_111719-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=6vw3WD

  • Lezione 19

    * Dalla serie alla trasformata: limite dall'intervallo di lunghezza finita a tutta la retta reale, derivazione euristica delle formule per trasformata e antitrasformata;

    * Cenni su integrale di Lebesgue: misura, insiemi misurabili, proprietà della misura di Lebesgue;

    * Risultati notevoli su integrale di Lebesgue: teorema della convergenza dominata, teorema di Fubini-Tonelli (solo enunciati);

    * Visualizzazione di funzioni di variabile complessa su Mathematica;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2019/Recordings/Solo%20visualizzazione/Meeting%20in%20_Lezione%2019_-20211117_112338-Meeting%20Recording.mp4?csf=1&web=1&e=nkiX7d

  • Lezione 20

    * Definizione di L^1 e L^2, norma, proprietà;

    * Definizione di trasformata di Fourier in L^1;

    * Proprietà: linearità, limitatezza, traslazioni e moltiplicazione per fase, continuità, prodotto di convoluzione, derivate e moltiplicazione per variabile;

    Video: https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%2020%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione%2FMeeting%20in%20%5FLezione%2020%5F%2D20211118%5F112610%2DMeeting%20Recording%2Emp4&parent=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%2020%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione

  • Lezione 21

    * Teorema di Riemann-Lebesgue;

    * Esempi di trasformata di Fourier, check delle proprietà, trasformata di Fourier della Gaussiana;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2021/Recordings/Solo%20visualizzazione/Meeting%20in%20_Lezione%2021_-20211119_111516-Meeting%20Recording.mp4?csf=1&web=1&e=rTfhmV

  • Lezione 22

    * Trasformata di Fourier su L^2: motivazioni;

    * Lo spazio L^2: prodotto scalare, proprietà, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, continuità;

    * Definizione di trasformata di Fourier su L^2: approssimazione di funzione L^2 con funzione in L^1 intersezione L^2, identità di Parseval in L^1 intersezione L^2, proprietà di Cauchy per la successione delle trasformate di Fourier, esistenza del limite;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2022/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2022_-20211124_104648-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=OeJ5OR

  • Lezione 23 (3h)

    * Identità di Parseval per trasformata di Fourier su L^2:

    * Esempio;

    * Antitrasformata, dimostrazione della formula;

    * Identità di Parseval generalizzata per il prodotto scalare di due funzioni in L^2;

    * Proprietà della trasformata in L^2: derivate e moltiplicazione per variabile, trasformata del prodotto è il prodotto di convoluzione delle trasformate, differenza con L^1;

    * Interpretazione della trasformata come decomposizione in armoniche a frequenza fissata, confronto con la serie di Fourier, identità di Parseval per la serie;

    * Principio di indeterminazione;

    Video prima parte: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2023/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2023_-20211125_094619-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=SLMU09

    Video seconda parte: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2023/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2023_-20211125_104621-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=puIat6

  • Lezione 24

    * Esercizi su calcolo della trasformata di Fourier, trasformata del prodotto di funzioni, uso dell'identità di Parseval per il calcolo di integrali;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2024/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2024_-20211126_104650-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=pb4bot

  • Lezione 25

    * Identità di Parseval della serie dall'ortogonalità delle funzioni in cui si espande, problema dell'analogo nel caso continuo, approccio tramite approssimazione della fase con una funzione in L^2, necessità di una nozione di limite più generale di quello in L^2;

    * Generalizzazione del limite tramite introduzione di funzioni test a decrescenza rapida, spazio di Schwarz, spazio delle distribuzioni temperate, limite in senso distribuzionale;

    * La distribuzione delta di Dirac, ortogonalità tra le funzioni in cui si espande nel caso continuo, identità di Parseval usando questa nozione di ortogonalità;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2025/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2025_-20211201_104805-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=VTwdm5

  • Lezione 26

    * Operazioni su distribuzioni: derivata, moltiplicazione per polinomio, trasformata di Fourier;

    * Esempi: la derivata della distribuzione theta è la delta, derivata della delta, moltiplicazione per x della delta, distribuzione parte principale di 1/x, la moltiplicazione della parte principale di 1/x per x dà 1, trasformata di Fourier della delta di Dirac;


    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2026/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2026_-20211202_104711-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=e13S2l

  • Lezione 27

    * Trasformata di Fourier di funzione oscillante, trasformata di Fourier di una costante, trasformata di Fourier della theta di Heaviside, trasformata di Fourier della parte principale di 1/x;

    * Applicazione della trasformata di Fourier: risposta lineare di un sistema a un impulso esterno, funzione di Green come risposta a un impulso esterno a delta di Dirac, proprietà di causalità e implicazioni per la trasformata di Fourier della funzione di Green;

    * Esercizio sulla funzione di Green;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2027/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2027_-20211203_104744-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=LRTX8m

  • Lezione 28

    * Ricapitolazione su argomenti trattati riguardo la trasformata di Fourier;

    * Spazi vettoriali infinito dimensionali, concetto di base, esempio delle successioni;

    * Serie di vettori, convergenza richiede il concetto di norma, completezza e spazi di Banach, completamento, sottoinsiemi densi;

    * Esempi di spazi di Banach: L^p, l^p;

    * Esercizio su funzione di Green;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2028/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2028_-20211210_104610-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=juk7UL

  • Lezione 29

    * Disuguaglianza triangolare per la norma l^p;

    * Problema di determinare i coefficienti nell'espansione in serie di un vettore, concetto di prodotto scalare, norma indotta, esempi;

    * Definizione di spazio di Hilbert;

    * Sistema indipendente, sistema ortonormale, ortonormalizzazione di Gram-Schmidt;

    * Serie di Fourier e coefficienti di Fourier per un vettore in un sistema ortonormale, disuguaglianza di Bessel;

    * Definizione di sistema ortonormale completo;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2029/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2029_-20211213_105927-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=3NxyJh

  • Lezione 30

    * Esempi di sistemi ortonormali completi e non completi: l^2, L^2 e serie di Fourier, estensione pari e dispari di una funzione, sistema dei seni e dei coseni;

    * Caratterizzazione dei sistemi ortonormali completi: identità di Parseval, un vettore ortogonale a tutti gli elementi di un sistema completo è nullo;

    * Spazi di Hilbert separabili, mappa a l^2;

    * Sistemi completi non ortonormali;

    * Esercizi su sistemi ortonormali completi;

    * Identità di Parseval generalizzata;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2030/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2030_-20211214_104724-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=5JMWVk

  • Lezione 31

    * Operatori lineari su spazi di Hilbert;

    * Esempi di operatori non definiti su tutto lo spazio, derivata su L^2, dominio di un operatore;

    * Continuità di un operatore lineare, estensione del dominio per continuità;

    * Esempi di operatori continui;

    Viideo: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2031/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2031_-20211215_104640-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=3bchrq

  • Lezione 32

    * Operatori limitati, norma di un operatore, convergenza in norma per operatori;

    * Equivalenza di continuità e limitatezza;

    * Strategia per calcolare la norma di un operatore;

    * Esempi;

    * Esercizi su: norma operatoriale, trasformata di Fourier in due variabili;

    * Sistemi ortonormali completi su L^2([-T,T]) con condizioni agli estremi;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2032/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2032_-20211216_104703-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=zaL7Ng

  • Lezione 33

    * Funzionali lineari, teorema di Riesz;

    * Aggiunto di un operatore limitato definito su tutto lo spazio di Hilbert;

    * Proprietà dell'aggiunto;

    * Caso più generale di operatore su un dominio denso: definizione del dominio dell'aggiunto e dell'operatore aggiunto;

    * Esempi;

    * Operatore simmetrico e operatore autoaggiunto;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2033/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2033_-20211222_104936-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=xHGZJn

  • Lezione 34

    * Esempio di aggiunto per operatore non limitato: l'operatore derivata su L^2 di un intervallo, domini con diverse condizioni agli estremi e corrispondenti domini dell'aggiunto, l'operatore derivata moltiplicato per i è autoaggiunto sul dominio con condizioni al bordo periodiche;

    * Aggiunto della trasformata di Fourier;

    * Operatori unitari, trasformata di Fourier come operatore unitario, proprietà di operatori unitari;

    * Altri esempi: operatore di moltiplicazione per variabile e operatore derivata su L^2 di tutta la retta, collegamento tra i due operatori tramite coniugazione con l'operatore unitario trasformata di Fourier;

    Video: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2034/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2034_-20220112_104534-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=MEqbmu

  • Lezione 35 (3h)

    * Autovalori e autovettori;

    * Esempi di operatori in dimensione infinita con nessun autovettore, o con un continuo di autovettori;

    * Proprietà di autovettori e autovalori per operatori simmetrici, e per due operatori che commutano;

    * Cenni su operatori compatti, teorema di Hilbert-Schmidt e applicazione alla soluzione di equazione del calore o di Schroedinger;

    * Esempio dell'operatore derivata seconda su L^2 di un intervallo, domini con varie condizioni agli estremi, esistenza di un sistema ortonormale completo di autovettori;

    * Nozione di spettro di un operatore, spettro continuo e spettro discreto;

    * Esempi: operatore moltiplicazione per x e derivata su L^2 di tutta la retta, spettro continuo, autovettori impropri.

    Video prima parte: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2035/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2035_-20220113_095559-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=IH58uW

    Video seconda parte: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2035/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2035_-20220113_105645-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=wjkvTh

  • Esercitazioni Extra

    Video 1: https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Forms/AllItems.aspx?id=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%2036%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione%2FRiunione%20in%20%5FLezione%2036%5F%2D20220114%5F105541%2DRegistrazione%20della%20riunione%2Emp4&parent=%2Fsites%2FPATC%5FCD2021%5FSM20%5F050SM%5F296780%2FDocumenti%20condivisi%2FLezione%2036%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione

    Video 2: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2037/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2037_-20220119_105142-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=UUJpPa

    Video 3: https://units.sharepoint.com/:v:/r/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Lezione%2038/Recordings/Solo%20visualizzazione/Riunione%20in%20_Lezione%2038_-20220121_104621-Registrazione%20della%20riunione.mp4?csf=1&web=1&e=aNRiZD