Schema della sezione

  • Introduzione

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  • Informazioni Generali

    Testi di riferimento: G. Cicogna "Metodi matematici della Fisica", 2015 Springer ; G.  Cicogna "Exercises and Problems in Mathematical Methods of Physics", 2018 Springer .

    Modalità esame: Scritto + orale facoltativo per chi ha superato lo scritto .

       

  • Esericizi e Esami appelli passati

  • Lezione 1

    * Presentazione del corso

    * Ripasso su serie di potenze, raggio di convergenza, esempi



  • Lezione 2

    * Funzioni analitiche di variabile reale

    * Esempi importanti: esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche, potenza arbitraria di 1+x

    * Esempi di calcolo di espansione in serie

    * Ripasso su numeri complessi: definizione e operazioni

  • Lezione 3 (1.5 h)

    * Complesso coniugato e modulo di un numero complesso

    * Rappresentazione polare

    * Potenze e radici n-esime

    * Serie e serie di potenze sui numeri complessi

    * Esponenziale complesso

  • Lezione 4 (2.25 h)

    * Esponenziale e funzioni trigonometriche di variabile complessa;

    * Proprietà dell'esponenziale;

    * Logaritmo complesso e inverse di funzioni trigonometriche;

    * Esercizi di riepilogo;

    * Continuità per funzioni di variabile complessa;

    * Punto all'infinito;

    * Estensione per continuità;

    * Esempi su continuità;

  • Lezione 5 (2.25 h)

    * Esempi su continuità;

    * Nozioni di derivata per funzioni da R^2 a R^2: derivate parziali e differenziale;

    * Derivata in senso complesso, funzioni derivabili in senso complesso;

    * Esempi su derivabilità in senso complesso;

    * Funzione olomorfa;

    * Condizioni di Cauchy-Riemann;

    * Esempi di funzioni olomorfe: potenze, polinomi, serie di potenze, serie bilatere;

    * Parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa: funzioni armoniche coniugate;


  • Lezione 6

    * Comparazione tra differenziabilità per funzione da R^2 a R^2  e olomorfia;

    * Proprietà della derivata: linearità, regola di Leibniz;

    * Integrale su cammino per funzione da R^2 a R^2, indipendenza dalla parametrizzazione, proprietà;

    * Integrale su cammino per funzione di variabile complessa;

    * Stima per il modulo dell'integrale;

    * Esercizi di riepilogo su: continuità, olomorfia, integrale su cammino. In particolare abbiamo calcolato l'integrale sul cerchio unitario di una potenza intera di z.

  • Lezione 7

    * Teorema di Green e dimostrazione nel caso semplificato di dominio limitato da grafici;

    * Esempio per domini più generali, caso non semplicemente connesso;

    * Applicazione a integrali su cammini di funzioni olomorfe: Teorema di Cauchy;

  • Lezione 8

    * Teorema di Cauchy in dominio non semplicemente connesso;

    * Esempi di deformazione del cammino usando il teorema di Cauchy;

    * Formula integrale di Cauchy;

    * Una funzione derivabile in senso complesso è derivabile infinite volte, formula integrale di Cauchy per la derivata n-esima;

    * Esempi sulla formula integrale di Cauchy;

    * Serie di Taylor: una funzione olomorfa ammette sviluppo in serie di potenze;

    * Punti di non analiticità, serie di Taylor-Laurent;



  • Lezione 9

    * Commento su serie di Taylor-Laurent: serie diverse centrate nello stesso punto che convergono in diverse regioni del piano complesso;

    * Esempi di serie di Taylor-Laurent;

    * Soluzione Esercizi Settimana 2;

    * Esercizi su uso di sviluppo in serie per calcolo di integrali;

     

  • Lezione 10

    * Estensione analitica;

    * Esempio: funzione Gamma di Eulero;

    * Singolarità isolate;

    * Tipi di singolarità isolate: 0) Singolarità rimuovibili;

    * Esempi di singolarità rimuovibile;

    * Caratterizzazione delle singolarità rimuovibili: se la funzione è limitata nell'intorno, la singolarità è rimuovibile;

    * 1) Polo: ordine di un polo;

    * Esempi di polo;



  • Lezione 11

    * Esempi di polo;

    * Caratterizzazione di un polo: la funzione ha limite infinito, se il polo è di ordine n il reciproco della funzione ha zero di ordine n;

    * 2) Singolarità essenziale;

    * Esempi di singolarità essenziale:

    * Caratterizzazione di singolarità essenziale: la funzione non ammette limite, Teorema di Picard (senza dimostrazione);

    * Esempi di singolarità non isolate: punti di accumulazione di poli, la funzione logaritmo;

    * Teorema di Liouville;

    * Applicazione del teorema di Liouville: Teorema fondamentale dell'algebra;

    * Definizione di residuo;

    * Formula per residuo in un polo di ordine n;

    * Teorema dei residui;

  • Lezione 12

    * Funzioni olomorfe in un intorno di infinito: infinito come singolarità isolata;

    * Serie di TL Laurent attorno a infinito, formula per i coefficienti tramite cambio di variabile z'=1/z;

    * Residuo all'infinito;

    * Teorema esterno dei residui;

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Esercizio: calcolo del residuo ai poli della funzione Gamma;

    * Esercizio su tipi di singolarità isolate e calcolo dei residui;

    * Metodo per calcolare integrali su tutto l'asse reale tramite l'aggiunta di un arco nel semipiano superiore/inferiore del piano complesso;

  • Lezione 13

    * Esempio di calcolo di integrale sull'asse reale con aggiunta di arco nel semipiano superiore/inferiore ;

    * Esempio di calcolo di integrale sull'asse reale x di funzione razionale di t = e^x dispari in t ;  

    * Punti di diramazione e tagli: esempio del logaritmo, ramo della funzione, punti di diramazione a z=0 e z=infinito connessi da taglio, discontinuità ;

    * Definizione di punto di diramazione tramite continuazione analitica su una curva attorno al punto ;

    * Esempio della radice n-esima, ramo della funzione, punti di diramazione a z=0 e z=infinito connessi da taglio, discontinuità ;

    * Relazione tra logaritmo e radice n-esima ;

  • Lezione 14

    * Potenza generica di un numero complesso, definizione tramite logaritmo, punti di diramazione in z=0 e z=infinito connessi da taglio, discontinuità ;

    * Identità per la potenza o il logaritmo di un prodotto di numeri nel campo complesso ;

    * Esempio di funzione con punti di diramazione al finito: radice di z+1 per radice di z-1 ;

    * Esempio di utilizzo per il calcolo di un integrale reale ;

  • Lezione 15

    * Lemma di Jordan ;

    * Esempio di applicazione ;

    * Correzione esercizio per casa ;

    * Utilizzo della funzione logaritmo per calcolo di integrali reali tra 0 e +infinito ;

  • Lezione 16

    * Riepilogo su funzioni di variabile complessa ;

    * Introduzione a trasformata di Fourier: equazione differenziale lineare con termine disomogeneo / forza esterna ;

    * Funzioni su un intervallo: serie di Fourier, "base" di seni e coseni ;

    * Convergenza per funzioni C^1 a tratti ;

    * Analogia con spazi vettoriali finito dimensionali con prodotto scalare ;

    * Esempi e check della convergenza su Mathematica ;

  • Lezione 17

    * Esempio di applicazione della serie di Fourier: l'equazione del calore;

    * Riscrittura della serie di Fourier nella "base" data dagli esponenziali complessi ;

    * Derivazione della trasformata di Fourier dalla serie nel limite in cui l'intervallo diventa l'intera retta reale; 

    * Cenni su integrale di Lebesgue ;

  • Lezione 18

    * Soluzione esercizi per casa ;

    * Utilizzo del Lemma di Jordan per calcolo di integrali non assolutamente convergenti: esempio dell'integrale di sin x / x  sulla retta reale ;

    * Definizione di parte principale di un integrale ;

    * Calcolo dell'integrale su un arco di apertura angolare arbitraria attorno a un polo, nel limite di raggio che tende a zero ;


  • Lezione 19

    * Cenni su misura e integrale di Lebesgue: insiemi numerabili hanno misura nulla, esempio della indicatrice dei razionali ; 

    * Teoremi su integrale di Lebesgue: Teorema della Convergenza Dominata, Teorema di Fubini-Tonelli (entrambi senza dimostrazione) ;

    * Spazi di funzioni integrabili: L^1 e L^2, definizione della norma, completezza, le funzioni continue sono sottoinsieme denso ;

    * Definizione della trasformata di Fourier per funzioni L^1 ;

  • Lezione 20 (3h)

    * Proprietà della trasformata di Fourier su  L^1 : linearità, traslazione e moltiplicazione per fase, la trasformata è una funzione continua e limitata ;

    * Definizione di prodotto di convoluzione su L^1, la trasformata mappa il prodotto di convoluzione nel prodotto ordinario ;

    * Norma su funzioni continue e limitate, la trasformata di Fourier è una funzione continua ;

    * Derivate e moltiplicazioni per potenze della variabile ; 

    * Teorema di Riemann-Lebesgue (senza dimostrazione) ;

    * Esempio di trasformata per funzione L^1 che ammette infinite derivate: la trasformata decade più velocemente di un qualsiasi polinomio ;

  • Lezione 21

    * Esempio: trasformata di Fourier della theta di Heviside, la trasformata ammette infinite derivate;

    * Esempio di prodotto di convoluzione, e verifica che la trasformata del prodotto di convoluzione è il prodotto delle trasformate ;

    * Esempio: la trasformata di Fourier della gaussiana è ancora una gaussiana ;

  • Lezione 22 (1.5h)

    * Definire la trasformata di Fourier su L^2: motivazioni ;

    * Dalla relazione F^2 = 2pi R alla formula per l'anti-trasformata: richiede funzioni a cui si possa applicare F^2;

    * Prodotto scalare su L^2 e sue proprietà ;

    * Funzioni in L^1 intersezione L^2: identità di Parseval.

  • Lezione 23 (3h)

    * Approssimanti in L^1 intersezione L^2 di funzione in L^2 ;

    * Trasformata in L^2 come limite della trasformata delle approssimanti ;

    * Identità di Parseval per trasformata in L^2 ;

    * Dimostrazione della formula per l'antitrasformata ;

    * Interpretazione della trasformata di Fourier: "espansione" della funzione nella base di armoniche;

    * Confronto con la serie di Fourier, identità di Parseval per la serie di Fourier ;

    * Analogia con distribuzioni di probabilità, definizione del baricentro e della larghezza della funzione in spazio dei tempi e delle frequenze ;

    * Principio di Indeterminazione ;


  • Lezione 24

    * Correzione esercizi per casa ;

    * Esempi di trasformata di Fourier in L^2 , verifica delle proprietà ;

  • Lezione 25

    * Identità di Parseval per la serie come conseguenza dell'ortogonalità della "base" di funzioni ;

    * Analogo per la trasformata richiede regolarizzazione: calcolo del prodotto scalare come trasformata di Fourier della funzione approssimante ;

    * Rimozione della regolarizzazione richiede nozione di limite debole: concetto di distribuzione e limite nel senso di distribuzioni ;

    * Definizione di delta di Dirac ;

  • Lezione 26 (2.25h)

    * Rimozione del regolatore usando il limite nel senso delle distribuzioni: il prodotto scalare di due funzioni oscillanti dà la delta di Dirac ;

    * Applicazione alla derivazione dell'identità di Parseval ;

    * Cenni su spazio di Schwarz delle funzioni test ;

    * Cenni su distribuzioni temperate e operazioni su distribuzioni: derivata nel senso delle distribuzioni ;

    * Esempio: la derivata della theta di Heaviside è la delta di Dirac ;

  • Lezione 27 (3h)

    * Operazioni sulle distribuzioni temperate: moltiplicazione per polinomi ;

    * Esempio: la moltiplicazione per x della delta di Dirac dà la distribuzione nulla ;

    * Operazioni sulle distribuzioni temperate: trasformata di Fourier ;

    * Esempio: la trasformata di Fourier della delta di Dirac dà una costante, la trasformata di Fourier di una costante dà la delta di Dirac ;

    * Correzione esercizi per casa ;

    * Esercizi su limite in senso delle distribuzioni ;

    * Esempio notevole: Distribuzione parte principale di 1/x ;

    * Calcolo della trasformata di Fourier di P(1/x) e della theta di Heaviside applicando la trasformata inversa ;


  • Lezione 28 (2.25 h)

    * Risposta lineare di un sistema a perturbazioni dipendenti dal tempo: Linearità, Causalità, Invarianza sotto traslazioni temporali ;

    * Soluzione come prodotto di convoluzione con la forza esterna, definizione di funzione di Green ;

    * Trasformata di Fourier ;

    * Equazione per la funzione di Green con forza esterna data dalla delta di Dirac ;

    * Equazione per la trasformata della funzione di Green, conseguenza della causalità: la trasformata è il limite di una funzione olomorfa ;

    * Esempio: oscillatore armonico forzato, corrispondenza tra soluzioni dell'omogenea e delta di Dirac nell'equazione per la trasformata della funzione di Green ;



  • Lezione 29 (3h)

    * Esempio di funzione di Green non causale, che si può rendere causale aggiungendo soluzione dell'omogenea ;

    * Esempio di funzione di Green e trasformata di Fourier in dimensione più alta: funzione di Green per il Laplaciano ;

    * Ricapitolazione degli argomenti trattati sulla trasformata di Fourier ;

    * Spazi vettoriali in dimensione infinita: usuale concetto di base con somme finite, esistenza e difficoltà nella costruzione ;

    * Concetto di norma per poter definire somme infinite: spazi di Banach, esempio di L^p ;

  • Lezione 30

    * Soluzione esercizi per casa ;

    * Esercizio su limite in senso distribuzionale di 1/(x+i epsilon) ;

    * Esercizio su funzioni di Green ;

  • Lezione 31

    * Prodotto scalare e norma indotta;

    * Spazio di Hilbert: spazio vettoriale con prodotto scalare, completo rispetto alla norma ;

    * Esempi: L^2 e l^2 ;

    * Sistema indipendente e sistema ortonormale, ortornormalizzazione di Gram-Schmidt ;

    * Miglior approssimazione possibile di un vettore in un sistema ortonormale, disuguaglianza di Bessel ;

    * Definizione di sistema ortonormale completo ;

  • Lezione 32 (3h)

    * Esempio di sistema ortonormale completo e non completo in l^2 ;

    * Esempio di sistema ortonormale completo e non completo in L^2([-T, T]): serie di Fourier, serie dei seni/coseni e parte dispari/pari di una funzione, i seni e i coseni sono un sistema ortonormale completo in L^2([0,T]) ;

    * Caratterizzazione dei sistemi completi: identità di Parseval, un vettore ortogonale a tutto il sistema deve essere nullo ;

    * Identità di Parseval generalizzata ;

    * Esercizio su come dimostrare che un sistema ortonormale è completo ;

    * Sistemi completi non ortonormali, definizione e esempi ;

  • Lezione 33

    * Definizione di spazio di Hilbert separabile, isomorfismo con l^2 ;

    * Soluzione esercizi per casa ;

    * Esercizi su sistemi completi ;

  • Lezione 33

    * Definizione di operatore ;

    * Dominio di un operatore ;

    * Definizione di norma di un operatore ;

    * Definizione di operatori limitati e operatori continui ;

    * Equivalenza tra nozione di operatore continuo e operatore limitato ;

  • Lezione 35

    * Correzione esercizi ;

  • Lezione 36

    * Esempi di calcolo di norma di operatori ;

    * Caso particolare di operatori continui: funzionali lineari e continui a valori in C ;

    * Lemma di Riesz ;

    * Definizione di aggiunto per un operatore continuo e limitato ;

  • Lezione 37 (3h)

    * Definizione di aggiunto per un operatore definito su un dominio denso, relazione tra dominio dell'operatore e dominio dell'aggiunto ;

    * Definizione di operatore simmetrico e operatore autoaggiunto ;

    * Esempi di calcolo di aggiunto per operatori continui: operatore di traslazione su l^2, operatore di moltiplicazione per x su L^2([-L,L]); 

    * Esempi di calcolo di aggiunto per operatori non continui: operatore di moltiplicazione su L^2(R), derivata su L^2([-L,L]); 

    * Operatori che preservano il prodotto scalare, operatori unitari, la trasformata di Fourier come operatore unitario ;

  • Lezione 38

    * Esempio di calcolo di aggiunto per operatori non continui: la derivata su L^2(R) ; uso della trasformata di Fourier per mappare all'operatore moltiplicazione per x ;

    * Autovalori e autovettori ;

    * Proprietà di autovalori e autovettori per operatori simmetrici ;

    * Esempi di operatori in dimensione infinita con nessun autovettore, o con infiniti autovettori ;

    * Esercizio su operatori definiti tramite azione su un sistema ortonormale completo ;

  • Lezione 39

    * Esercitazione su Spazi di Hilbert.

  • Lezione 40

    * Cenni su: Operatori compatti, teorema di Hilbert-Schmidt, applicazione al problema di Sturm-Liouville;

    * Definizione di spettro di un operatore;

    * Esempi: calcolo dello spettro per l'operatore di moltiplicazione per x e l'operatore derivata su L^2(R).