Weekly outline

  • General

  • 1 October - 7 October

     04/10. Lezione sospesa per indisposizione del docente. Prima lezione spostata al giorno 8/10.


    • 8 October - 14 October

      09/10. Algebre, sigma-algebre, misure.

      11/10.  Massimo e minimo limite di insiemi. Misure finite, sigma-finite, complete. Teorema di completamento. Misura esterna.

      • 15 October - 21 October

        15/10. Intervalli in  \mathbb  R^n, misura esterna di Lebesgue, sigma-algebra e misura di Lebesgue.  Misurabilità dei semispazi. Teorema di ricoprimento di Whitney. I Boreliani sono insiemi di Lebesgue.

        18/10. Misura degli intervalli. Caratterizzazione per approssimazione degli insiemi di Lebesgue, inizio della dimostrazione.


        • 22 October - 28 October

          22/10. Caratterizzazione per approssimazione degli insiemi di Lebesgue, fine della dimostrazione. Insieme di Vitali. Misura su un'algebra.

          25/10.Teorema di estensione di Caratheodory. Nozione di misura esterna regolare. Esercizi.

        • 29 October - 4 November

          29/10. Misura su una semialgebra.


          1,2/11. Lezioni sospese per tutto il C.d.L.


        • 5 November - 11 November

          05/11. Esercizi. Funzioni misurabili.

          06/11.  Operazioni su funzioni misurabili. Successioni di funzioni misurabili. Convergenza quasi ovunque. Approssimazione di funzioni misurabili con funzioni semplici.



          • 12 November - 18 November

            12/11.Convergenza quasi uniforme. Teorema di Egorov-Severini. Convergenza in misura, convergenza alla Cauchy in misura. Esempi. Convergenza alla Cauchy in misura e convergenza q.uniforme di una sottosuccessione. Funzioni misurabili su \mathbb R ^n e approssimazione in misura con funzioni a scalino.

            15/11. Funzioni misurabili su \mathbb R ^n e approssimazione in misura con funzioni continue. Teorema di Tietze (solo enunciato). Teorema di Lusin. Esercizi.

          • 19 November - 25 November

            19/11. Integrale di funzioni misurabili nonnegative. Lemma di Fatou. Teorema di convergenza monotona. Conseguenze del Teorema di convergenza monotona. Integrale per funzioni di segno variabile.

            22/11.Teorema di convergenza dominata. Varianti ai teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale (cenni). Proprietà dell'integrale.

            • 26 November - 2 December

              26/11. Confronto tra integrale di Riemann e di Lebesgue. Integrale improprio e integrale secondo Lebesgue. Criterio di Lebesgue per l'integrabilità secondo Riemann (cenno). Misure prodotto.

              23/11. Principio di Cavalieri. Teorema di Fubini.Teorema di Tonelli e conseguenze, funzione distribuzione. Misura prodotto su \mathbb R^n \times \mathbb R^m.

            • 3 December - 9 December

              03/12. Disuguaglianza di Young. Disuguaglianza di Hölder. Disuguaglianza di Minkowski. Spazi L^p. Teorema di Riesz-Fisher.

              06/12. Confronto tra convergenza in L^p, convergenza q.o. e convergenza in misura. Esercizi. Caratterizzazione duale della norma p.

            • 10 December - 16 December

              10/12. Disuguaglianza di Minkowski integrale. Proprietà di monotonia della norma p, disuguaglianza interpolatoria, limite della norma p per p \to \infty.

              13/12. Approssimazione in L^p con funzioni semplici, e a scalino. Continuità nel senso di L^p. Disuguaglianza di Young per convoluzioni, un caso particolare. Nuclei mollificatori. Approssimazioni di funzioni L^p(\mathbb R^n) con funzioni C^{\infty}(\mathbb R^n) e con funzioni C_0^{\infty}(\mathbb R^n).

            • 17 December - 23 December

              17/12. L^{\infty}(\mathbb R^n) non è separabile. Operatori lineari limitati tra spazi lineari normati. Spazio duale di uno spazio lineare normato. Teorema di rappresentazione di Riesz per L^p (solo enunciato).

              20/12. Insieme e funzione di Cantor.

            • 7 January - 13 January

              07/01. Esercizi.

              10/01. Esercizi.

            • Appelli d'esame

              Scritto del 24/9: nessun ammesso.