Schema della sezione

  • Introduzione

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  • 1 ottobre - 7 ottobre

     04/10. Lezione sospesa per indisposizione del docente. Prima lezione spostata al giorno 8/10.


  • 8 ottobre - 14 ottobre

    09/10. Algebre, sigma-algebre, misure.

    11/10.  Massimo e minimo limite di insiemi. Misure finite, sigma-finite, complete. Teorema di completamento. Misura esterna.

  • 15 ottobre - 21 ottobre

    15/10. Intervalli in  \mathbb  R^n, misura esterna di Lebesgue, sigma-algebra e misura di Lebesgue.  Misurabilità dei semispazi. Teorema di ricoprimento di Whitney. I Boreliani sono insiemi di Lebesgue.

    18/10. Misura degli intervalli. Caratterizzazione per approssimazione degli insiemi di Lebesgue, inizio della dimostrazione.


  • 22 ottobre - 28 ottobre

    22/10. Caratterizzazione per approssimazione degli insiemi di Lebesgue, fine della dimostrazione. Insieme di Vitali. Misura su un'algebra.

    25/10.Teorema di estensione di Caratheodory. Nozione di misura esterna regolare. Esercizi.

  • 29 ottobre - 4 novembre

    29/10. Misura su una semialgebra.


    1,2/11. Lezioni sospese per tutto il C.d.L.


  • 5 novembre - 11 novembre

    05/11. Esercizi. Funzioni misurabili.

    06/11.  Operazioni su funzioni misurabili. Successioni di funzioni misurabili. Convergenza quasi ovunque. Approssimazione di funzioni misurabili con funzioni semplici.



  • 12 novembre - 18 novembre

    12/11.Convergenza quasi uniforme. Teorema di Egorov-Severini. Convergenza in misura, convergenza alla Cauchy in misura. Esempi. Convergenza alla Cauchy in misura e convergenza q.uniforme di una sottosuccessione. Funzioni misurabili su \mathbb R ^n e approssimazione in misura con funzioni a scalino.

    15/11. Funzioni misurabili su \mathbb R ^n e approssimazione in misura con funzioni continue. Teorema di Tietze (solo enunciato). Teorema di Lusin. Esercizi.

  • 19 novembre - 25 novembre

    19/11. Integrale di funzioni misurabili nonnegative. Lemma di Fatou. Teorema di convergenza monotona. Conseguenze del Teorema di convergenza monotona. Integrale per funzioni di segno variabile.

    22/11.Teorema di convergenza dominata. Varianti ai teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale (cenni). Proprietà dell'integrale.

  • 26 novembre - 2 dicembre

    26/11. Confronto tra integrale di Riemann e di Lebesgue. Integrale improprio e integrale secondo Lebesgue. Criterio di Lebesgue per l'integrabilità secondo Riemann (cenno). Misure prodotto.

    23/11. Principio di Cavalieri. Teorema di Fubini.Teorema di Tonelli e conseguenze, funzione distribuzione. Misura prodotto su \mathbb R^n \times \mathbb R^m.

  • 3 dicembre - 9 dicembre

    03/12. Disuguaglianza di Young. Disuguaglianza di Hölder. Disuguaglianza di Minkowski. Spazi L^p. Teorema di Riesz-Fisher.

    06/12. Confronto tra convergenza in L^p, convergenza q.o. e convergenza in misura. Esercizi. Caratterizzazione duale della norma p.

  • 10 dicembre - 16 dicembre

    10/12. Disuguaglianza di Minkowski integrale. Proprietà di monotonia della norma p, disuguaglianza interpolatoria, limite della norma p per p \to \infty.

    13/12. Approssimazione in L^p con funzioni semplici, e a scalino. Continuità nel senso di L^p. Disuguaglianza di Young per convoluzioni, un caso particolare. Nuclei mollificatori. Approssimazioni di funzioni L^p(\mathbb R^n) con funzioni C^{\infty}(\mathbb R^n) e con funzioni C_0^{\infty}(\mathbb R^n).

  • 17 dicembre - 23 dicembre

    17/12. L^{\infty}(\mathbb R^n) non è separabile. Operatori lineari limitati tra spazi lineari normati. Spazio duale di uno spazio lineare normato. Teorema di rappresentazione di Riesz per L^p (solo enunciato).

    20/12. Insieme e funzione di Cantor.

  • 7 gennaio - 13 gennaio

    07/01. Esercizi.

    10/01. Esercizi.

  • Appelli d'esame

    Scritto del 24/9: nessun ammesso.