Schema della sezione

  • Introduzione

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  • Informazioni Generali

    Contenuti:

    1) Funzioni di variabile complessa:

    * funzioni analitiche

    * teorema di Cauchy

    * applicazione al calcolo di integrali

    2) Trasformata di Fourier:

    * trasformata di Fourier in L^1

    * trasformata di Fourier in L^2

    * trasformata di distribuzioni temperate

    3) Spazi di Hilbert

    * sistemi ortonormali completi

    * operatori 

    * cenni sullo spettro


    Testi di riferimento: G. Cicogna "Metodi matematici della Fisica", 2015 Springer ; G.  Cicogna "Exercises and Problems in Mathematical Methods of Physics", 2018 Springer .

    Altri testi utili: M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni "Guide To Mathematical Methods For Physicists, A: With Problems And Solutions", 2017 World Scientific; F. Bagarello "Fisica Matematica", 2007 Zanichelli; E.B. Saff, A.D. Snider "Fundamentals of Complex Analysis", 2003 Prentice Hall; M.L. Boas, "Mathematical Methods in Physical Sciences", 2006 Wiley.

    Modalità esame: Scritto + orale facoltativo per chi ha superato lo scritto. Entrambi sono basati su soluzione di esercizi.

    Link per iscriversi al Team del corso su MS Teams (da cui sono accessibili le registrazioni):  https://teams.microsoft.com/l/team/19%3ab5rwPVY3mKvkjqb6M6BPkopsIXrZSseQLtC2h17_HSA1%40thread.tacv2/conversations?groupId=5cabced0-8c39-4571-b9fe-b129b242397d&tenantId=a54b3635-128c-460f-b967-6ded8df82e75

  • Esami Passati

    Link a correzioni dei compiti:

    * 28/09/2022

    https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Correzione%20compito%2028.09/Recordings/Solo%20visualizzazione/Meeting%20in%20_Correzione%20compito%2028.09_-20221004_171326-Meeting%20Recording.mp4?web=1

    * 09/09/2022

    https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Correzione%20compito%2009.09/Recordings/Solo%20visualizzazione/Meeting%20in%20_Correzione%20compito%2009.09_-20220913_170441-Meeting%20Recording.mp4?web=1

    * 18/02/2022

    https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/_layouts/15/stream.aspx?id=%2Fsites%2FPATC_CD2021_SM20_050SM_296780%2FDocumenti%20condivisi%2FCorrezione%20compito%2018%2E02%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione%2FMeeting%20in%20_Correzione%20compito%2018%2E02_-20220222_100514-Meeting%20Recording%2Emp4

    * 28/01/2022

    https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2021_SM20_050SM_296780/Documenti%20condivisi/Correzione%20Compito%2028.01/Recordings/Solo%20visualizzazione/Meeting%20in%20_Correzione%20Compito%2028.01_-20220202_100338-Meeting%20Recording.mp4?web=1

    * 03/02/2023

    PARTE 1: https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2022_SM20_050SM_310034/_layouts/15/stream.aspx?id=%2Fsites%2FPATC%5FCD2022%5FSM20%5F050SM%5F310034%2FDocumenti%20condivisi%2FTutorato%201%2D2%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione%2FCorrezione%20scritto%201%2D20230207%5F170725%2DRegistrazione%20della%20riunione%2Emp4

    PARTE 2: https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2022_SM20_050SM_310034/_layouts/15/stream.aspx?id=%2Fsites%2FPATC%5FCD2022%5FSM20%5F050SM%5F310034%2FDocumenti%20condivisi%2FTutorato%201%2D2%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione%2FCorrezione%20scritto%201%2D20230207%5F180742%2DRegistrazione%20della%20riunione%2Emp4

    * 17/02/2023

    https://units.sharepoint.com/sites/PATC_CD2022_SM20_050SM_310034/_layouts/15/stream.aspx?id=%2Fsites%2FPATC%5FCD2022%5FSM20%5F050SM%5F310034%2FDocumenti%20condivisi%2FTutorato%201%2D2%2FRecordings%2FSolo%20visualizzazione%2FCorrezione%20Secondo%20scritto%2D20230222%5F094056%2DRegistrazione%20della%20riunione%2Emp4

  • Esercizi

  • Lezione 1

    * Presentazione del corso;

    * Ripasso su serie di potenze: raggio di convergenza, esempi;

    * Proprietà delle serie di potenze: unicità, esistenza di serie centrata in un altro punto interno all'intervallo di convergenza;

    * Funzioni analitiche di variabile reale;


    Referenze: M.L. Boas, Capitolo 1, Sezioni 10-11

  • Lezione 2

    * Esempi importanti di funzioni analitiche reali: esponenziale, funzioni trigonometriche, logaritmo, potenza di 1+x;

    * Esempi di calcolo di serie di potenze: arcsin, funzione composta, notazione O grande;

    * Ripasso su Numeri Complessi: definizione, operazioni di somma e prodotto, elementi neutri e inversi, campo complesso;

    * Altre operazioni sui numeri complessi: complesso coniugato, parte reale e parte immaginaria, modulo;

    * Uso del modulo per definire distanza, convergenza e continuità;

    * Coordinate polari: modulo e argomento, formula di Eulero;

    * Interpretazione geometrica di somma (traslazione) e prodotto (dilatazione e rotazione);

    * Potenze e radici n-esime;


    Referenze: M.L. Boas, Capitolo 1, sezioni 12-13; Capitolo 2.

  • Lezione 3

    * Radice n-esima come funzione a più valori, definizione univoca tramite restrizione del codominio a uno spicchio, discontinuità;

    * Serie di potenze su C: convergenza assoluta, raggio di convergenza;

    * Esempi importanti: esponenziale complesso, funzioni trigonometriche di variabile complessa, generalizzazione della formula di Eulero: seno e coseno in termini dell'esponenziale complesso, funzioni iperboliche di variabile complessa e relazione con le funzioni trigonometriche;

    * Proprietà dell'esponenziale complesso: manda somma in prodotto, calcolo del modulo, periodicità nella direzione immaginaria;

    * Logaritmo come funzione a più valori, definizione univoca tramite restrizione del codominio a una striscia, discontinuità, serie di potenze del logaritmo;

    * Funzioni inverse trigonometriche tramite logaritmo di variabile complessa, esempio di arcsin;

    * Esercizi di riepilogo;


    Referenze: M.L. Boas, Capitolo 2.

  • Lezione 4

    * Funzioni di variabile complessa;

    * Limite;

    * Punto all'infinito su C;

    * Continuità, estensione per continuità, esempi;

    * Derivata: concetti di derivata per funzioni da R^2 a R^2, derivata parziale e differenziale;

    * Derivata: derivata in senso complesso, confronto con differenziale, proprietà, esempi; 

    * Definizione di funzione analitica;

    * Condizioni di Cauchy-Riemann;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.1;

                       M. Petrini et al, Capitolo 1, sezioni 1.1, 1.2, 1.4, 1.5;
                       

  • Lezione 5

    * Esempi su condizioni di CR;

    * Serie di potenze e serie bilatere come esempi di funzioni analitiche nel disco/corona di convergenza;

    * La parte reale e immaginaria di una funzione analitica sono funzioni armoniche, concetto di armonica coniugata, corrispondenza tra funzioni armoniche e funzioni analitiche;

    * Integrale: definizione di cammino, nozione di integrale su cammino per funzione da R^2 a R^2;

    * Proprietà dell'integrale su cammino per funzione da R^2 a R^2: indipendenza dalla parametrizzazione, dipendenza dall'orientazione, integrale di un gradiente;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.2, e 3.14; 

                       M.L. Boas, Capitolo 6, sezione 8;

                       M. Petrini et al, Capitolo 2, sezioni 2.1 e 2.2;

  • Lezione 6

    * Integrale su cammino per funzione su C, relazione con integrale su cammino per funzione da R^2 in R^2;

    * Proprietà: indipendenza dalla parametrizzazione, dipendenza dall'orientazione, integrale di una derivata totale, maggiorazione del modulo dell'integrale con il modulo del massimo della funzione per la lunghezza del cammino;

    * Esempi;

    * Esercizi di riepilogo;

    * Integrale di z^n su un cerchio centrato nell'origine, integrale di una serie bilatera centrata nell'origine su un cerchio centrato nell'origine;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.3;

                       M. Petrini et al, Capitolo 2, sezioni 2.1 e 2.2;

  • Lezione 7

    * Teorema di Green: dimostrazione per regione inclusa tra grafici, generalizzazione a domini generici;

    * Applicazioni: differenza tra due integrali su cammini per cammini tra due estremi fissati, condizione affinché un campo vettoriale sia un gradiente, determinazione dell'armonica coniugata di una funzione armonica data, differenza tra due integrali su cammini chiusi in domini non semplicemente connessi; 


    Referenze: M.L. Boas, Capitolo 6, sezione 9;

  • Lezione 8

    * Teorema di Cauchy;

    * Applicazioni: deformazioni del cammino con gli estremi fissati, deformazioni di cammini chiusi in regioni non semplicemente connesse, esempi;

    * Formula integrale di Cauchy;

    * Applicazione: derivabilità infinite volte;

    * Serie di Taylor;

    * Serie di Taylor-Laurent;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.4 e 3.5;

                       M. Petrini et al, Capitolo 2, sezioni 2.3 e 2.6, Capitolo 3, sezioni 3.2 e 3.3;

  • Lezione 9

    * Esercizi: soluzione esercizio per casa, esercizio su serie di Taylor e Taylor-Laurent, esercizio su calcolo di integrale di funzione razionale di funzioni trigonometriche;

  • Lezione 10

    * Estensione analitica;

    * La funzione Gamma di Eulero;

    * Tipi di singolarità isolate: singolarità rimuovibili, se la funzione è limitata nell'intorno allora la singolarità è rimuovibile;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.6, 3.7;

                       M. Petrini et al, Capitolo 3, sezione 3.4;

  • Lezione 11

    * Tipi di singolarità isolate: Polo di ordine n, esempi;

    * Tipi di singolarità isolate: singolarità essenziali, esempi;

    * Teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.8;

                       M. Petrini et al, Capitolo 2, sezione 2.8.3;

  • Lezione 12

    * Funzioni meromorfe;

    * Residuo di una funzione in una singolarità isolata;

    * Formula per il residuo a un polo di ordine n;

    * Teorema dei residui;

    * Tipo della singolarità all'infinito;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.8, 3.9 e 3.10;

  • Lezione 13

    * Residuo all'infinito;

    * Teorema esterno dei residui;

    * Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali sulla retta reale, tramite aggiunta di arco all'infinito;

    * Esercizi su residui e calcolo di integrali;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezioni 3.9 e 3.11;

  • Lezione 14

    * Lemma di Jordan;

    * Esempio di calcolo di integrali reali con Lemma di Jordan;

    * Calcolo di integrale di sin x/x  usando lemma di Jordan e parte principale;


    Referenza: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.13;

                       M. Petrini et al, Capitolo 4, sezione 4.4;

  • Lezione 15

    * Rami di una funzione a più valori, scelta del taglio;

    * Punti di diramazione e tagli;

    * Esempio della funzione radice n-esima e potenza reale generica;

    * Esempio di funzioni con soli punti di diramazione al finito: prodotto di radici quadrate;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.12;

                      M. Petrini et al, Capitolo 1, sezione 1.3.2; Capitolo 4, sezione 4.3.3;

  • Lezione 16

    * Esempio di utilizzo di funzione con taglio per calcolo di integrale reale;

    * Esercizio su calcolo di integrale con arco all'infinito;

    * Soluzione esercizio per casa;

  • Lezione 17

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Integrali con radici quadrate;

  • Lezione 18

    * Integrali con radici quadrate, esempio;

    * Integrali sull'asse reale positivo usando la funzione logaritmo, esempio;

    * Riassunto su argomenti trattati riguardo funzioni di variabile complessa;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 3, sezione 3.12;

                       M. Petrini et al, Capitolo 4, sezione 4.3.3;

  • Lezione 19 (3h)

    * Trasformata di Fourier: introduzione e motivazione, uso di espansione in modi a frequenza fissata per risolvere equazioni lineari;

    * Serie di Fourier: caso di frequenze discrete;

    * Espansione di una funzione C^1 nella "base" di funzioni periodiche, formula per i coefficienti, esempi;

    * Esercizio: applicazione della serie di Fourier all'equazione del calore;

    * Dalla serie alla trasformata: limite dall'intervallo di lunghezza finita a tutta la retta reale, derivazione euristica delle formule per trasformata e antitrasformata;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezione 4.1;

                       M. Petrini et al, Capitolo 8, sezione 8.1.1; 

  • Lezione 20

    * Esercizio su integrali con la radice;

    * Applicazione degli integrali con funzioni polidrome: derivazione della formula di riflessione per funzione Gamma;

  • Lezione 21

    * Definizione di L^1 e L^2, norma, proprietà;

    * Definizione di trasformata di Fourier in L^1;

    * Proprietà: linearità, limitatezza, traslazioni e moltiplicazione per fase, continuità, prodotto di convoluzione;

    * Teorema della convergenza dominata, teorema di Fubini-Tonelli (solo enunciati);


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezioni 4.3 e 4.4;

                      M. Petrini et al., Capitolo 8, inizio sezione 8.2 e sottosezione 8.2.1;


  • Lezione 22

    * Proprietà della trasformata in L^1: derivate e moltiplicazione per variabile, teorema di Riemann-Lebesgue;

    * Esempi di trasformata di Fourier, check delle proprietà;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezione 4.5;

                       M. Petrini et al., Capitolo 8, inizio sezione 8.2 e sottosezione 8.2.1;

  • Lezione 23

    * Esercizi su trasformata di Fourier in L^1, trasformata di Fourier della Gaussiana;

    * Soluzione esercizi per casa;

  • Lezione 24

    * Trasformata di Fourier su L^2: motivazioni;

    * Lo spazio L^2: prodotto scalare, proprietà, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, continuità;

    * Definizione di trasformata di Fourier su L^2: approssimazione di funzione L^2 con funzione in L^1 intersezione L^2, identità di Parseval in L^1 intersezione L^2, proprietà di Cauchy per la successione delle trasformate di Fourier, esistenza del limite;

    * Identità di Parseval per trasformata di Fourier su L^2:

    * Esempio;

    * Antitrasformata, dimostrazione della formula;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezioni 4.6 e 4.7;

  • Lezione 25

    * Identità di Parseval generalizzata per il prodotto scalare di due funzioni in L^2;

    * Proprietà della trasformata in L^2: derivate e moltiplicazione per variabile, trasformata del prodotto è il prodotto di convoluzione delle trasformate, differenza con L^1;

    * Interpretazione della trasformata come decomposizione in armoniche a frequenza fissata, confronto con la serie di Fourier, identità di Parseval per la serie;

    * Principio di indeterminazione;

    * Identità di Parseval della serie dall'ortogonalità delle funzioni in cui si espande, problema dell'analogo nel caso continuo, approccio tramite approssimazione della fase con una funzione in L^2, necessità di una nozione di limite più generale di quello in L^2;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezioni 4.6, 4.1 e 4.2;

  • Lezione 26

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Generalizzazione del limite tramite introduzione di funzioni test a decrescenza rapida, spazio di Schwarz, spazio delle distribuzioni temperate, limite in senso distribuzionale;

    * La distribuzione delta di Dirac, ortogonalità tra le funzioni in cui si espande nel caso continuo, identità di Parseval usando questa nozione di ortogonalità;

    * Esercizi su trasformata in L^2;

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 5, sezioni 5.1 e 5.2;

  • Lezione 27

    * Operazioni su distribuzioni: derivata, moltiplicazione per polinomio, trasformata di Fourier;

    * Esempi: la derivata della distribuzione theta è la delta, derivata della delta, moltiplicazione per x della delta, distribuzione parte principale di 1/x, la moltiplicazione della parte principale di 1/x per x dà 1

    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 5, sezioni 5.3, 5.4 e 5.5;

                       M. Petrini et al: Capitolo 7, sezione 7.4.

  • Lezione 28

    * Trasformata di Fourier della delta di Dirac, trasformata di Fourier dell'esponenziale complesso, trasformata di Fourier di una costante, trasformata di Fourier della theta di Heaviside, trasformata di Fourier della parte principale di 1/x;

    * Soluzione esercizi per casa;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 5, sezione 5.4;

                       M. Petrini et al, Capitolo 8, sezione 8.2.4;

  • Lezione 29

    * Applicazione della trasformata di Fourier: risposta lineare di un sistema a un impulso esterno, funzione di Green come risposta a un impulso esterno a delta di Dirac, proprietà di causalità e implicazioni per la trasformata di Fourier della funzione di Green;

    * Esercizio sulla funzione di Green;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 4, sezioni 4.9 e 4.10;

  • Lezione 30 (3h)

    * Esercizio su funzione di Green;

    * Ricapitolazione su argomenti trattati riguardo la trasformata di Fourier;

    * Spazi vettoriali infinito dimensionali, concetto di base, esempio delle successioni;

    * Serie di vettori, convergenza richiede il concetto di norma, completezza e spazi di Banach, completamento, sottoinsiemi densi;

    * Esempi di spazi di Banach: L^p, l^p;

    * Disuguaglianza triangolare per la norma l^p;

    * Problema di determinare i coefficienti nell'espansione in serie di un vettore, concetto di prodotto scalare, norma indotta, esempi;

    * Definizione di spazio di Hilbert;

    * Sistema indipendente, sistema ortonormale, ortonormalizzazione di Gram-Schmidt;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.6, 2.7, 2.10 e 2.11;

  • Lezione 31

    * Soluzione esercizi per casa;

    * Serie di Fourier e coefficienti di Fourier per un vettore in un sistema ortonormale, disuguaglianza di Bessel;

    * Definizione di sistema ortonormale completo;

    * Esempi di sistema ortonormale completo o non completo in l^2;

    * Caratterizzazione dei sistemi ortonormali completi: identità di Parseval, un vettore ortogonale a tutti gli elementi di un sistema completo è nullo;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.12 e 2.13;

  • Lezione 32

    * Sistemi completi non ortonormali;

    * Spazi di Hilbert separabili, mappa a l^2;

    * Esercizi su sistemi ortonormali completi;

    * Esempi di sistemi ortonormali completi: L^2 e serie di Fourier;

    * Identità di Parseval generalizzata;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.13 e 2.14;

  • Lezione 33

    * Operatori lineari su spazi di Hilbert;

    * Esempi di operatori non definiti su tutto lo spazio, derivata su L^2, dominio di un operatore;

    * Continuità di un operatore lineare, estensione del dominio per continuità;

    * Esempi di operatori continui;

    * Operatori limitati, norma di un operatore, convergenza in norma per operatori;

    * Equivalenza di continuità e limitatezza;

    * Strategia per calcolare la norma di un operatore;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.16, 2.17 e 2.18;

  • Lezione 34

    * Esempi e esercizi su norma operatoriale;

    * Soluzione esercizi per casa;

  • Lezione 35

    * Aggiunto di un operatore limitato definito su tutto lo spazio di Hilbert;

    * Proprietà dell'aggiunto;

    * Caso più generale di operatore su un dominio denso: definizione del dominio dell'aggiunto e dell'operatore aggiunto;

    * Esempi;

    * Operatore simmetrico e operatore autoaggiunto;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.19 e 2.27;

  • Lezione 36

    * Esempio di aggiunto per operatore non limitato: l'operatore derivata su L^2 di un intervallo, domini con diverse condizioni agli estremi e corrispondenti domini dell'aggiunto, l'operatore derivata moltiplicato per i è autoaggiunto sul dominio con condizioni al bordo periodiche;

    * Aggiunto della trasformata di Fourier;

    * Operatori unitari, trasformata di Fourier come operatore unitario, proprietà di operatori unitari;

    * Autovalori e autovettori;

    * Esempi di operatori in dimensione infinita con nessun autovettore, o con un continuo di autovettori;

    * Proprietà di autovettori e autovalori per operatori simmetrici, e per due operatori che commutano;

    * Cenni su operatori compatti, teorema di Hilbert-Schmidt;


    Referenze: G. Cicogna, Capitolo 2, sezioni 2.19, 2.20 e 2.30;

  • Lezione 37

    * Altri esempi di operatore autoaggiunto: operatore di moltiplicazione per variabile e operatore derivata su L^2 di tutta la retta, collegamento tra i due operatori tramite la trasformata di Fourier;

    * Applicazione del teorema di Hilbert-Schmidt a equazione del calore o di Schroedinger;

    * Esempio di operatore con s.o.c. di autovettori: derivata seconda su L^2([-L,L]), dipendenza dalle condizioni al bordo;