051SM - INTRODUZIONE ALLA FISICA TEORICA 2023
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Section outline
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PROGRAMMA
1) Meccanica Razionale
- Equazioni differenziali e sistemi unidimensionali
- Meccanica Lagrangiana: spazio delle configurazioni, equazioni di Lagrange, costanti del moto e simmetrie, linearizzazione attorno a configurazioni di equilibrio, formulazione variazionale, moto centrale, trottola di Lagrange.
- Meccanica Hamiltoniana: equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson, trasformazioni canoniche, costanti del moto e simmetrie, sistemi integrabili.
- Esercizi
2) Introduzione alla Meccanica Quantistica
- Funzione d'onda, equazione di Schrödinger, osservabili a spettro continuo e discreto e Hamiltoniana di sistemi semplici
MATERIALE
- G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, Appunti di Meccanica Razionale
- H. Goldstein, Meccanica Classica (testo di riferimento)
- V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica (per materiale extra)
- A. Fasano e S. Marmi, Meccanica analitica (per materiale extra)
- Yung-kuo Lim, Problems and Solutions on Mechanics (Chapter II: Analytical Mechanics) (esercizi)
- D. Tong, Classical Dynamics, (review concisa ed esaustiva; link)
- D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (per la parte di meccanica quantistica)
- C. Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics (per la parte di meccanica quantistica)
ESAME:
Scritto (in trentesimi) --- durata 3h:
- Domanda di teoria di Meccanica Razionale.
- Esercizio di Meccanica Razionale (simile a quelli svolti in classe).
- Una domanda/esercizio di Meccanica Quantistica su qualcosa fatto in classe.
Orale ( voto compreso tra -4 e +4, da aggiungere al voto dello scritto; FACOLTATIVO ):- Una domanda di Meccanica Razionale.
Può sostenere l'orale solo chi ha preso un voto allo scritto ≥ 18! L'orale va sostenuto nello stesso appello dello scritto! Lo studente può scegliere di non sostenere l'esame orale e di registrare il voto dello scritto come voto finale.
Su esse3 gli esami sono indicati nel seguente modo:- Prova parziale "Scritto IFT": è l'esame scritto vero e proprio. Se desiderate sostenere tale scritto, siete pregati di registrarvi alla prova parziale nei tempi richiesti.
- Appello con verbalizzazione online "Esame IFT con orale": è il giorno dell'orale ed è l'appello in cui verbalizzerò il voto finale. Chi deciderà di mantenere il voto dello scritto, senza sostenere l'orale, dovrà iscriversi a questo appello e gli verrà registrato il voto dello scritto.
- Equazioni differenziali e sistemi unidimensionali
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- Introduzione del corso.
- Elementi di base: spazi vettoriali, notazione con gli indici, differenziale di una funzione, derivate di funzioni composte.
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- Equazione di Newton come equazione differenziale del secondo ordine.
- Esempi: equazioni lineari omogenee e non-omogenee, attrito.
- Teorema di esistenza e unicità.
- Sistemi autonomi.
[BGG: 1.1.1, 1.1.2, 1.1.4] -
- Flusso del campo vettoriale.
- Costanti del moto. (!)
- Punti di equilibrio.
[BGG: 1.1.4, 1.1.5, 1.1.7] -
- Derivata di Lie e costanti del moto.
- Stabilità di punti di equilibrio, teorema di Ljapunov.
- Linearizzazione attorno a punti di equilibrio.
[BGG: 1.1.7, 1.1.8, 1.3.1]
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- Sistemi conservativi a un grado di libertà e piano delle fasi. Trattazione qualitativa.
- Traiettorie nel piano delle fasi: trattazione qualitativa. Caso generico.
- Traiettorie nel piano delle fasi: trattazione analitica.
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- Punto materiale in coordinate generiche.
- Punto materiale vincolato.
- Biforcazione a forchetta.
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- Spazio delle configurazioni e spazio degli stati.
- Sistema di N punti materiali vincolati.
[BGG: 3.2.1] -
- Vincoli olonomi ideali.
- Energia cinetica in coordinate libere. Esempio: coordinate cilindriche.
- Forze generalizzate ed energia potenziale.
[BGG: 3.2.1, 3.2.3, 3.2.4]
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- Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi di N punti materiali soggetti a vincoli ideali.
[BGG: 3.3.1]
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- Pendolo sferico: coordinate libere, Lagrangiana, equazioni di Lagrange.
- Proprietà di invarianza delle equazioni di Lagrange.
[BGG: 3.3.1, 3.3.2]
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- Potenziali dipendenti da velocità.
- Moti relativi.
- Particella carica in campo elettromagnetico.
[BGG: 3.6.1]
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- Integrali primi/costanti del moto per un sistema Lagrangiano.
- Conservazione dell'energia nel formalismo Lagrangiano.
- Coordinate cicliche e lagrangiana ridotta.
[BGG: 3.7.1, 3.7.2] - Integrali primi/costanti del moto per un sistema Lagrangiano.
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- Particella in campo magnetico costante.
- Teorema di Noether.
- Configurazioni di equilibrio in formalismo Lagrangiano.
[BGG: 3.7.3; Tong: 2.5.1] -
- Configurazioni di equilibrio in sistemi Lagrangiani.
- Linearizzazione attorno a punti di equilibrio.
- Modi normali di oscillazione e coordinate normali.
[BGG: 3.9.1, 3.9.2, 3.9.3, 3.9.4]
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- Funzionali: definizione ed esempi.
- Differenziale o variazione di un funzionale. Esempi.
[BGG: 4.1.1, 4.1.2]
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- Stazionarietà di un funzionale ed equazioni di Eulero-Lagrange.
- Principio di minima azione di Hamilton.
[BGG: 4.1.3, 4.1.4]
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- Rotazioni in 2 dimensioni e 3 dimensioni.
- Generatori e mappa esponenziale.
- Teorema di Noether e rotazioni.
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- Moto di due corpi. Moto in campo di forze centrali. Conservazione del momento angolare e riduzione a un problema a due gradi di libertà.
- Moto centrale: coordinate libere (utilizzando conservazione del momento angolare) e Lagrangiana efficace.
- Moto centrale: Diagramma delle fasi per equazioni di Lagrange della Lagrangiana efficace.
- Orbite nel piano.
- Calcolo dell'orbita dalle equazioni di Lagrange della Lagrangiana efficace.
[BGG 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4a; Gold 3.1,3.2]
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- Calcolo dell'orbita per quadrature (usando conservazione dell'energia).
- Orbite e coniche.
- Periodo per orbite ellittiche e leggi di Keplero.
- Legge oraria.
[BGG 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4a, Appendice 2.A; Gold 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7]
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- Moto centrale: Calcolo dell'orbita usando il vettore di Laplace-Runge-Lenz (costante del moto).
- Corpo rigido: spazio delle configurazioni, momento angolare ed energia cinetica.
[Gold: 3.8, 3.9; BGG 2.6.1, 2.6.2, 2.7.1]
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- Operatore di Inerzia, momento d'inerzia.
- Corpo con asse fisso di rotazione.
- Angoli di Eulero.
- Velocità angolare di un corpo rigido.
[BGG 2.3.1, 2.3.2; Gold 4.4, 4.9] -
- Lagrangiana della Trottola.
- Potenziale efficace.
- Moto di nutazione e precessione della trottola.
[Gold 5.7]
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- Trottola con spin grande.
- Trottola dormiente e risvegliata.
- Equazioni di Hamilton e Hamiltoniana.
- Esempi di sistemi Hamiltoniani: oscillatore armonico.
[Gold 5.7; BGG 3.4.1, 3.4.3, 3.5]
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- Esempi di sistemi Hamiltoniani: oscillatore armonico e corpo soggetto a forza elettromagnetica.
- Parentesi di Poisson.
- Proprietà delle parentesi di Posson, Identità di Jacobi.
- Parentesi di Poisson fondamentali.
[BGG: 3.5, 3.8.1, 3.8.2, 3.8.3]
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- Parentesi di Poisson e costanti del moto. Conservazione dell'energia in meccanica Hamiltoniana.
- Parentesi di Poisson e momento angolare.
[BGG: 3.8.1, Tong 4.3.1]
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- Trasformazioni canoniche: introduzione e definizione.
- Trasformazioni canoniche nel formalismo compatto.
- Hamiltoniana coniugata.
[BGG: 4.2.1, 4.2.5]
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- Trasformazioni canoniche e trasformazioni simplettiche: criterio di canonicità.
- Trasformazioni canoniche e parentesi di Poisson.
- Flusso Hamiltoniano come trasformazione canonica.
[BGG: 4.2.4, 4.2.5]
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- Trasformazioni canoniche come trasformazioni attive e passive.
- Teorema di Liouville.
- Trasformazioni canoniche infinitesime.
- Teorema di Noether in meccanica Hamiltoniana.
- Trasformazioni canoniche finite e generatori.
[BGG: 4.2.4; Gold 9.6, 9.7]
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- Momento angolare come generatore di rotazioni.
- Quantità di moto e Hamiltoniana come generatori di rispettivamente traslazioni spaziali e temporali.
- Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche.
- Esempio di trasformazione canonica e criteri di canonicità.
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- Equazione di Hamilton-Jacobi.
- Esempio: oscillatore armonico.
- Sistemi integrabili.
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- Crisi della fisica classica e avvento della meccanica quantistica. (*)
- Equazione di Schroedinger.
- Funzione d'onda e densità di probabilità; distribuzione dei momenti.
- Stati quantistici e spazio di Hilbert.
(*) non verrà chiesto all'esame.
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- Osservabili in Meccanica Quantistica.
- Osservabili X e P.
- P e M generatori di traslazioni e rotazioni.
- H generatore di traslazioni temporali. Equazione di Schroedinger.
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- Equazione di Schroedinger ed evoluzione temporale degli stati.
- Particella libera. Pacchetto d'onda Gaussiano.
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- Buca di pontenziale infinita: autovalori e autovettori di H, valori medi di X e P.
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- Oscillatore armonico quantistico.
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- Particella quantistica sul cerchio. Theta termine e suoi effetti sullo spettro.
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- Esercizi esame luglio 2022.
- Esercizi esame giogno 2023.
- Esercizi esame luglio 2022.